Побудуйте графік функції y=x²+4x-13. За допомогою графіку визначте: 1) множину значень функції, 2) інтервали зростання

Хорошо, давайте начнем с решения задачи.

1) Множество значений функции:
Для построения графика функции \( y = x^2 + 4x - 13 \) мы будем использовать некоторые математические инструменты. Сначала нужно найти вершину параболы, поскольку она является точкой экстремума функции. Позитивный коэффициент при \( x^2 \) гарантирует, что парабола будет направлена вверх.

Чтобы найти вершину параболы, воспользуемся формулой \( x = -\frac{b}{2a} \), где \( a \) и \( b \) - коэффициенты при \( x^2 \) и \( x \) соответственно. В нашем случае \( a = 1 \) и \( b = 4 \). Подставляя значения, имеем:

\[ x = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2 \]

Теперь найдем значение функции в этой точке. Подставим \( x = -2 \) в уравнение функции:

\[ y = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) - 13 = 4 - 8 - 13 = -17 \]

Таким образом, вершина параболы находится в точке (-2, -17).

Теперь мы можем построить график функции. Продолжаем:

2) Интервалы возрастания и убывания функции:
Для этого нужно проанализировать коэффициент перед \( x^2 \). Если он положительный, то функция возрастает, иначе - убывает.

В нашем случае коэффициент перед \( x^2 \) равен 1, что означает, что функция возрастает.

Теперь, когда мы знаем все необходимые детали, построим график функции.

\[ \begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
xlabel={x},
ylabel={y},
xmin=-10, xmax=5,
ymin=-20, ymax=30,
xtick={-10,-9,...,5},
ytick={-20,-19,...,30},
grid=both,
]

\addplot[
color=blue,
domain=-10:5,
samples=100,
]
{x^2 + 4*x - 13};

\addplot[
color=red,
mark=*,
only marks,
point meta=explicit symbolic,
]
coordinates {
(-2, -17)
};
\node[label={135:{(-2, -17)}},circle,fill,inner sep=2pt] at (axis cs:-2,-17) {};
\end{axis}
\end{tikzpicture} \]

Таким образом, график функции \( y = x^2 + 4x - 13 \) выглядит так, как показано на графике выше. Мы также определили множество значений функции (все значения y, соответствующие графику) и интервалы возрастания и убывания функции. В данном случае, поскольку коэффициент перед \( x^2 \) положительный, функция возрастает на всей своей области определения.