Площадь предметной поверхности наклонной треугольной призмы составляет 280 квадратных сантиметров. Какова длина

Для решения данной задачи нам понадобится использовать основные свойства треугольников и формулы для нахождения площади и длины сторон.

Площадь предметной поверхности наклонной треугольной призмы можно выразить суммой площадей трех прямоугольных треугольников, каждый из которых образован одной из боковых граней призмы и прямоугольной проекцией равнобедренного треугольника на эту грань. При этом прямоугольная проекция будет иметь основание, равное боковому ребру треугольной призмы, и высоту, равную величине отклонения вершины треугольника от основания призмы.

Таким образом, площадь поверхности треугольной призмы может быть выражена формулой:
\[ S = a \cdot l + a \cdot h + a \cdot h \]
где \( S \) - площадь поверхности, \( a \) - длина бокового ребра, \( l \) - длина проекции на грань призмы, \( h \) - отклонение вершины треугольника от основания.

Учитывая, что площадь поверхности призмы составляет 280 квадратных сантиметров, подставим данное значение в формулу:
\[ 280 = a \cdot l + a \cdot h + a \cdot h \]

Так как поперечное сечение является равнобедренным треугольником, то длина проекции равна половине длины основания:
\[ l = \frac{a}{2} \]

Подставим данное значение в формулу:
\[280 = a \cdot \frac{a}{2} + a \cdot h + a \cdot h \]

Упростим данное уравнение:
\[280 = \frac{a^2}{2} + 2ah \]

Теперь нам нужно найти значение \(h\) - отклонения вершины треугольника от основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой гранью и его проекцией:

\[
\begin{array}{ccc}
& | /
& | / h \\
& |/
& + ---- / ---- \\
&
&a
\end{array}
\]

Используя теорему Пифагора для этого треугольника, мы можем выразить \(h\) через \(a\):
\[a^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2\]

Сократим дробь во втором слагаемом:
\[4 \cdot a^2 = 4 \cdot h^2 + a^2\]

Упростим уравнение:
\[3 \cdot a^2 = 4 \cdot h^2\]

Теперь выразим \(h\) через \(a\):
\[h^2 = \frac{3 \cdot a^2}{4}\]
\[h = \frac{\sqrt{3} \cdot a}{2}\]

Вернемся к уравнению для площади поверхности призмы и подставим полученное значение \(l\) и \(h\):
\[280 = a \cdot \frac{a}{2} + a \cdot \frac{\sqrt{3} \cdot a}{2} + a \cdot \frac{\sqrt{3} \cdot a}{2}\]

Упростим уравнение:
\[280 = \frac{a^2}{2} + \sqrt{3} \cdot a^2\]

Для решения уравнения произведем раскрытие скобок и приведем подобные слагаемые:
\[280 = \frac{1}{2} \cdot a^2 + 2 \cdot a^2 \cdot \sqrt{3}\]
\[280 = \frac{1}{2} \cdot a^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot a^2\]
\[280 = \frac{5}{2} \cdot a^2\]

Теперь найдем \(a\). Для этого решим уравнение:
\[a^2 = \frac{280 \cdot 2}{5}\]
\[a^2 = 112\]

Извлекая квадратный корень обоих частей уравнения, получим:
\[a = \sqrt{112}\]
\[a = 4 \cdot \sqrt{7}\]

Таким образом, длина бокового ребра призмы равна \(4 \cdot \sqrt{7}\) сантиметров.