Please solve the algebra test for 9th grade Equations and Inequalities with One Variable . Variant 1: 1. Solve

Решение алгебраического теста "Уравнения и неравенства с одной переменной" 9-го класса. Вариант 1:

1. Решим уравнение:

а) \(x^3 - 81x = 0\)

Факторизуем его:

\(x(x^2 - 81) = 0\)

Затем мы видим, что первый множитель равен 0 при \(x = 0\), а второй множитель является разностью квадратов. Поэтому мы можем записать:

\(x(x + 9)(x - 9) = 0\)

Таким образом, уравнение имеет три корня: \(x = 0\), \(x = -9\) и \(x = 9\).

б) Не указано уравнение. Пожалуйста, укажите уравнение, чтобы я смог решить его.

2. Решим неравенство:

а) \(2x^2 - 13x + 6 < 0\)

Для начала найдем корни квадратного трехчлена \(2x^2 - 13x + 6\) путем факторизации или с использованием формулы дискриминанта. Получим \(x = 2\) и \(x = 1.5\). Затем проведем тестовую точку в каждом из трех интервалов: \(-\infty\), \(1.5\) и \(2\). Подставляя значения в исходное неравенство, получим:

При \(x = 0\): \(2(0)^2 - 13(0) + 6 < 0\) - неравенство не выполняется.
При \(x = 1\): \(2(1)^2 - 13(1) + 6 < 0\) - неравенство не выполняется.
При \(x = 2.5\): \(2(2.5)^2 - 13(2.5) + 6 < 0\) - неравенство выполняется.

Таким образом, решением неравенства является интервал \(x \in (2, +\infty)\).

б) \(x^2 > 9\)

Факторизуем исходное неравенство: \((x + 3)(x - 3) > 0\)

Затем проведем тестовую точку в каждом из трех интервалов: \(-\infty\), \(-3\) и \(3\). Подставляя значения, получим:

При \(x = -4\): \((-4 + 3)(-4 - 3) > 0\) - неравенство выполняется.
При \(x = 0\): \((0 + 3)(0 - 3) > 0\) - неравенство не выполняется.
При \(x = 4\): \((4 + 3)(4 - 3) > 0\) - неравенство выполняется.

Таким образом, решением неравенства является интервал \(x \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty)\).

3. Решим неравенство с использованием метода интервалов:

а) \((x + 8)(x - 4)(x - 7) > 0\)

Построим знаковую линию, разбивая ее на интервалы, где каждый интервал будет соответствовать знаку множителя. Получим:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
& (x + 8) & (x - 4) & (x - 7) \\
\hline
(-\infty, -8) & - & - & - \\
\hline
(-8, 4) & - & + & - \\
\hline
(4, 7) & + & + & - \\
\hline
(7, +\infty) & + & + & + \\
\hline
\end{array}
\]

Из этой таблицы видно, что неравенство выполняется на интервалах \((-8, 4)\) и \((7, +\infty)\).

б) Не указано неравенство. Пожалуйста, укажите неравенство, чтобы я смог решить его.

4. Решим квадратно-квадратное уравнение:

\(x^4 - 19x^2 + 48 = 0\)

Введем замену \(x^2 = t\), тогда уравнение примет вид:

\(t^2 - 19t + 48 = 0\)

Факторизуем его, получим \((t - 16)(t - 3) = 0\).

Таким образом, получаем два квадратных уравнения:

\(t - 16 = 0\) и \(t - 3 = 0\)

Решим эти уравнения и найдем значения \(t\):

\(t_1 = 16\) и \(t_2 = 3\)

Теперь найдем значения \(x\) с использованием замены \(x^2 = t\):

\(x_1 = \sqrt{t_1} = \sqrt{16} = 4\) и \(x_2 = \sqrt{t_2} = \sqrt{3}\)

Таким образом, решением исходного биквадратного уравнения являются \(x = \pm 4\) и \(x = \pm \sqrt{3}\).

5. Найдем значения \(t\), при которых уравнение \(3x^2 + tx + 3 = 0\) имеет два корня.

Для того чтобы уравнение имело два корня, его дискриминант (\(D\)) должен быть больше нуля. Формула для дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты уравнения.

Подставим значения в формулу и решим неравенство:

\(t^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 > 0\)

\(t^2 - 36 > 0\)

Факторизуем неравенство и найдем его решения:

\((t + 6)(t - 6) > 0\)

Теперь проведем тестовую точку в каждом из трех интервалов: \(-\infty\), \(-6\) и \(6\). Подставим значения, получим:

При \(t = -7\): \((-7 + 6)(-7 - 6) > 0\) - неравенство не выполняется.
При \(t = 0\): \((0 + 6)(0 - 6) > 0\) - неравенство выполняется.
При \(t = 7\): \((7 + 6)(7 - 6) > 0\) - неравенство не выполняется.

Таким образом, решением неравенства является интервал \(t \in (-6, 6)\).

6. Найдем область определения функции.

Вам необходимо уточнить, какая функция имеется в виду, чтобы я мог определить ее область определения.

7. Найдем координаты точек пересечения графиков функций \(y = x\) и \(y = x^2 - 3x\).

Для того чтобы найти точки пересечения, приравняем функции:

\(x^2 - 3x = x\)

Получим квадратное уравнение:

\(x^2 - 4x = 0\)

Теперь факторизуем его:

\(x(x - 4) = 0\)

Таким образом, получаем два значения \(x\): \(x = 0\) и \(x = 4\).

Подставим эти значения в одну из функций, например, \(y = x\):

При \(x = 0\): \(y = 0\)
При \(x = 4\): \(y = 4\)

Таким образом, координатами точек пересечения графиков будут \((0, 0)\) и \((4, 4)\).

Это решение задачи по алгебре для 9-го класса по теме "Уравнения и неравенства с одной переменной". Если у вас возникли еще вопросы или есть еще задачи, пожалуйста, сообщите мне.