Периметр треугольника ABC равен 6 см, периметр треугольника DEF равен 8 см. Докажите, что периметр шестиугольника

Давайте рассмотрим каждый шаг по очереди, чтобы доказать, что периметр шестиугольника PKLMNR меньше 7 см.

1. Сначала проведем рассмотрение треугольников PAK, KDL, LBM, MEN, NCR и RFP. Запишем неравенства для их сторон, которые являются также сторонами шестиугольника:
\[PK < PA + AK\]
\[KL < LD + DK\]
\[LM < MB + BM\]
\[MN < NE + EM\]
\[NR < RC + CN\]
\[RP < PF + FR\]

2. Теперь сложим соответствующие левые и правые стороны в каждом неравенстве:
\[PK + KL + LM + MN + NR + RP\]
\[(PK + KL) + (LM + MN) + (NR + RP)\]
\[PA + AK + LD + DK + MB + BM + NE + EM + RC + CN + PF + FR\]

Обратите внимание, что величина "удвоенный периметр треугольника" равна сумме всех сторон треугольника. Таким образом, мы можем заменить эту величину на \(2(AK + DK + BM + NE + CN + FR)\).

Получаем:
\[PA + LD + MB + RC + PF + 2(AK + DK + BM + NE + CN + FR)\]

3. Используем информацию из условия задачи: периметр треугольника ABC равен 6 см, а периметр DEF равен 8 см. Мы можем выразить только стороны треугольника через \(AK + DK\), \(BM + NE\) и \(CN + FR\):
\[\begin{align*}
PA + LD &= 6 - AK - DK \\
MB + RC &= 6 - NE - CN \\
PF &= 8 - FR
\end{align*}\]

Подставляя эти значения в наше уравнение, получаем:
\[(6 - AK - DK) + (6 - NE - CN) + 2(AK + DK + BM + NE + CN + FR) + (8 - FR)\]

4. Упрощаем выражение:
\(20 + 4(AK + DK + BM + CN + NE) - AK - DK - NE - CN\)

5. Объединяем подобные слагаемые:
\(20 + 3(AK + DK + BM + NE + CN) - NE - CN\)

6. Учитывая, что все стороны треугольников положительны, мы можем сделать неравенство:
\(20 + 3(AK + DK + BM + NE + CN) - NE - CN < 7\)

7. Упрощаем выражение:
\(20 + 3(AK + DK + BM) - 2NE - 2CN < 7\)

8. Замечаем, что величины \(2NE\) и \(2CN\) являются сторонами треугольника DEF, периметр которого равен 8 см. Поэтому мы можем заменить каждое слагаемое на \(4 - PF\):
\(20 + 3(AK + DK + BM + CN) - 4 + PF < 7\)

9. Упрощаем выражение:
\(23 + 3(AK + DK + BM + CN) - PF < 7\)

10. Снова используем информацию из условия задачи: периметр треугольника DEF равен 8 см. Мы можем выразить только стороны треугольника через \(BM + CN\) и \(AK + DK\):
\[\begin{align*}
PF &= 8 - FR \\
&= 8 - (BM + CN)
\end{align*}\]

Подставляем это значение в наше неравенство:
\(23 + 3(AK + DK + BM + CN) - (8 - BM - CN) < 7\)

11. Упрощаем выражение:
\(23 + 3(AK + DK) < 7\)

12. Сокращаем:
\(23 + 3(AK + DK) < 7\)

13. Вычитаем 23 и упрощаем:
\(3(AK + DK) < -16\)

14. Разделяем на 3 и меняем знак:
\(AK + DK < \frac{-16}{3}\)

15. Поскольку AK и DK - это стороны треугольника, они не могут быть отрицательными. Поэтому, неравенство \(AK + DK < \frac{-16}{3}\) не имеет решений.

Таким образом, мы доказали, что периметр шестиугольника PKLMNR меньше 7 см, поскольку наше последнее обоснование показало, что решений для неравенства не существует.