Если все стороны треугольника имеют длину, меньшую чем m, то хотя бы одна

Question

Геометрия: Если все стороны треугольника имеют длину, меньшую чем m, то хотя бы одна из его высот будет превышать m. Правильно ли это утверждение?

Луна_В_Облаках · Accepted Answer

Да, данное утверждение верно. Для доказательства этого факта, давайте рассмотрим треугольник ABC, у которого все стороны имеют длину меньшую, чем m.

Предположим, что все высоты треугольника также имеют длину меньшую, чем m. Обозначим высоту, опущенную из вершины A, через hA. Также обозначим сторону треугольника противолежащую вершине A через a.

Таким образом, у нас имеется прямоугольный треугольник AHB, где AB - гипотенуза, hA - катет, а a - другой катет. Из определения высоты следует, что треугольник AHB прямоугольный и подобен исходному треугольнику ABC.

Используя соотношение между сторонами прямоугольного треугольника, можно записать, что \(\frac{{hA}}{{AB}} = \frac{{a}}{{BC}}\).

Так как все стороны треугольника ABC имеют длину меньшую, чем m, то имеем \(AB < m\) и \(BC < m\). Следовательно, \(\frac{{hA}}{{AB}} > \frac{{a}}{{BC}}\).

Переносим BC в числитель и AB в знаменатель, получаем \(hA > \frac{{a}}{{BC}} \cdot AB \).

Так как \(\frac{{a}}{{BC}}\) это коэффициент пропорциональности, больший единицы, то \(hA\) будет больше, чем a.

Таким образом, получаем, что хотя бы одна из высот треугольника будет превышать m, если все его стороны имеют длину меньшую, чем m.

Следовательно, данное утверждение верно.

Если все стороны треугольника имеют длину, меньшую чем m, то хотя бы одна из его высот будет превышать m. Правильно

Луна_В_Облаках

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!