Переконайтеся, що нерівність (2а-5)(2а+5)-(3а-2)2{ displaystyle leqslant }2(а-12) виконується для будь-якого

Чтобы проверить, выполняется ли неравенство \((2a-5)(2a+5)-(3a-2)^2 \leqslant 2(a-12)\) для любого \(a\) из множества действительных чисел, нам нужно развернуть все скобки, упростить выражение, и затем анализировать его значения в разных случаях.

Давайте выполним каждый шаг по порядку:

1. Развернем скобки в левой части неравенства:
\((2a-5)(2a+5)-(3a-2)^2 \leqslant 2(a-12)\)

\((4a^2 - 25) - (9a^2 - 12a + 4) \leqslant 2a - 24\)

2. Упростим выражение в левой части:
\(-5a^2 + 12a - 29 \leqslant 2a - 24\)

3. Перенесем все слагаемые в левую часть и упростим:
\(-5a^2 + 12a - 2a - 29 + 24 \leqslant 0\)

\(-5a^2 + 10a - 5 \leqslant 0\)

4. Теперь давайте решим эту квадратную неравенство методом анализа знаков.

4.1. Найдем корни уравнения \( -5a^2 + 10a - 5 = 0\).

Используем метод разложения на множители, приведя коэффициенты уравнения к общему множителю -5:
\(-5(a^2 - 2a + 1) = 0\)

Раскроем скобку:
\(-5(a - 1)^2 = 0\)

Основной корень уравнения равен \( a = 1 \).

4.2. Теперь проанализируем знаки выражения для разных интервалов, разбивая промежуток числовой прямой на интервалы в соответствии с корнями уравнения.

Выберем произвольные значения \(a\) для тестирования в интервалах:

- Если \(a < 1\), возьмем, например, \(a = 0\).
- Если \(a = 1\), возьмем сам корень, т.е. \(a = 1\).
- Если \(a > 1\), возьмем, например, \(a = 2\).

4.3. Проверим знак выражения \(-5a^2 + 10a - 5\) для каждого интервала:

- Для \(a < 1\): \(-5(0)^2 + 10(0) - 5 = -5 \leqslant 0\) - выполняется, так как результат отрицательный.

- Для \(a = 1\): \(-5(1)^2 + 10(1) - 5 = 0\) - выполняется, так как результат равен 0.

- Для \(a > 1\): \(-5(2)^2 + 10(2) - 5 = 5 > 0\) - не выполняется, так как результат положительный.

5. Суммируя наши результаты, неравенство выполнено для интервала \(a < 1\), а для интервала \(a \geqslant 1\) неравенство не выполняется.

Итак, мы можем заключить, что неравенство \((2a-5)(2a+5)-(3a-2)^2 \leqslant 2(a-12)\) выполняется для любого \(a\) из множества действительных чисел, если \(a < 1\).