Параллелограммнің көлемдері 3 см және 4 см көлемге, бір қағазның балғалары 60° тікелей тең. Параллелограммнің есіктерін

Школьнику объясняется следующая задача: у нас есть параллелограмм, у которого стороны равны 3 см и 4 см, а углы при основаниях равны 60°. Задача заключается в том, чтобы найти длины его диагоналей.

Для начала, давайте построим параллелограмм по заданным данным, чтобы лучше представить себе ситуацию:

\[тут нужно нарисовать параллелограмм с основаниями 3 см и 4 см и углом 60°]

Посмотрев на этот параллелограмм, можно заметить, что он может быть разделен на два равных треугольника по диагонали. Пусть диагонали параллелограмма обозначаются как \(d_1\) и \(d_2\).

Теперь, обратимся к треугольнику ABC, где A и С - точки пересечения диагоналей, а В - середина стороны BC.

\[тут нужно нарисовать треугольник ABC и отметить середину стороны BC как точку В]

Поскольку параллелограмм является фигурой с параллельными сторонами, значит, треугольник ABC является равнобедренным треугольником со сторонами AC и BC равными. Положим длину стороны AC равной x см.

Затем, в равнобедренном треугольнике со сторонами AC, AB и BC, у нас есть угол в вершине В, который равен углу ACD (60°).

А значит, угол ABC также равен 60°.

\[тут нужно в треугольнике ABC отметить угол ABC как 60°]

Теперь, мы можем использовать свойства равнобедренного треугольника, чтобы найти значения сторон AB и BC.

Мы знаем, что угол ABC равен 60°, значит, угол BAC равен (180° - 60°) / 2 = 60° / 2 = 30°.

Теперь, мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти значения сторон AB и BC.

Вспомним, что тангенс угла задается соотношением: \(\tan(\alpha) = \frac{{противолежащий}}{{прилежащий}}\).

Так как нам известны угол BAC (30°) и сторона AC (x), мы можем использовать это соотношение, чтобы найти сторону AB:

\[\tan(30°) = \frac{{AB}}{{BC}} \Rightarrow AB = BC \cdot \tan(30°).\]

Также, у нас есть отношение BC к его половине, которая является стороной параллелограмма, равное 2:

\[BC = 2 \cdot d_1.\]

Теперь, мы можем записать значение стороны AB через значение диагонали \(d_1\):

\[AB = 2 \cdot d_1 \cdot \tan(30°).\]

Таким образом, у нас есть выражение для стороны AB через диагональ параллелограмма \(d_1\).

Проведем ту же операцию для стороны BC:

\[\tan(60°) = \frac{{BC}}{{AB}} \Rightarrow BC = AB \cdot \tan(60°).\]

Теперь, мы можем выразить значение стороны BC через значение диагонали \(d_1\):

\[BC = 2 \cdot d_1 \cdot \tan(30°) \cdot \tan(60°).\]

Таким образом, мы получили выражения для сторон AB и BC через значение диагонали \(d_1\).

Теперь, нам нужно найти длину диагоналей \(d_1\) и \(d_2\).

Обратимся к треугольнику ABD, в котором AB и BC являются сторонами, а BD - диагональ параллелограмма.

\[тут нужно нарисовать треугольник ABD и отметить диагональ BD\]

Теперь, с помощью теоремы косинусов, мы можем найти значение стороны BD через длины сторон AB и BC, а также угол BAC:

\[BD^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(BAC).\]

Подставим значения сторон AB и BC из предыдущих выражений и значение угла BAC (30°):

\[BD^2 = (2 \cdot d_1 \cdot \tan(30°))^2 + (2 \cdot d_1 \cdot \tan(30°) \cdot \tan(60°))^2 - 2 \cdot (2 \cdot d_1 \cdot \tan(30°)) \cdot (2 \cdot d_1 \cdot \tan(30°) \cdot \tan(60°)) \cdot \cos(30°).\]

Теперь, у нас есть выражение для квадрата стороны BD через значение диагонали \(d_1\).

Однако, чтобы найти значение \(d_1\), нам нужно знать длину стороны BD. Давайте продолжим вычисления.

Поскольку треугольник ABD является прямоугольным треугольником (параллелограмм является фигурой с противоположными сторонами, параллельными друг другу), значит, угол BDA равен 90°.

Обратимся к треугольнику BDC, где BD - гипотенуза, а DC и BC - катеты.

\[тут нужно нарисовать треугольник BDC и отметить стороны DC и BC\]

Теперь, с помощью теоремы Пифагора, мы можем найти длину стороны BD через длины сторон DC и BC:

\[BD^2 = DC^2 + BC^2.\]

Зная, что DC равна длине основания параллелограмма (3 см), мы можем записать:

\[BD^2 = 3^2 + BC^2.\]

Теперь, у нас есть выражение для квадрата стороны BD через длину стороны BC и известную величину 9.

Сравнивая это уравнение с предыдущим, мы видим, что они представляют собой систему уравнений относительно \(d_1\) и \(BC\):

\[
\begin{align*}
(2 \cdot d_1 \cdot \tan(30°))^2 + (2 \cdot d_1 \cdot \tan(30°) \cdot \tan(60°))^2 - 2 \cdot (2 \cdot d_1 \cdot \tan(30°)) \cdot (2 \cdot d_1 \cdot \tan(30°) \cdot \tan(60°)) \cdot \cos(30°) &= 9, \\
3^2 + BC^2 &= 9.
\end{align*}
\]

Решение этой системы уравнений можно найти численными методами или с помощью компьютера.

Полученные значения для \(d_1\) и \(BC\) будут длинами диагонали и боковой стороны параллелограмма соответственно.