Определите точку на графике функции y=f(x), в которой касательная будет параллельна заданной прямой y=9+5x

Чтобы определить точку на графике функции, в которой касательная будет параллельной заданной прямой, мы должны найти производную функции и приравнять ее к наклону прямой.

Дано: функция \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 41x - 5\) и прямая \(y = 9 + 5x\).

Шаг 1: Найдем производную функции \(f(x)\) с помощью правила степенной функции и соберем все члены вместе:

\[
f"(x) = 3x^2 - 12x + 41
\]

Шаг 2: Поскольку мы ищем точку, в которой касательная будет параллельной заданной прямой, нам нужно найти значение \(x\), при котором производная функции \(f"(x)\) равна наклону прямой \(5\).

\[
3x^2 - 12x + 41 = 5
\]

Шаг 3: Решим полученное уравнение. Для этого приведем его к квадратному виду:

\[
3x^2 - 12x + 36 = 0
\]

Шаг 4: Решим полученное квадратное уравнение. Для этого воспользуемся квадратным трехчленом или формулой дискриминанта для нахождения корней. Выберем формулу дискриминанта:

\[
x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}
\]

В данном случае \(a = 3\), \(b = -12\), и \(c = 36\).

\[
x = \frac{{12 \pm \sqrt{{(-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 36}}}}{{2 \cdot 3}}
\]

\[
x = \frac{{12 \pm \sqrt{{144 - 432}}}}{{6}}
\]

\[
x = \frac{{12 \pm \sqrt{{-288}}}}{{6}}
\]

Так как дискриминант \(-288\) отрицательный, то у уравнения нет действительных корней. Это означает, что искомая касательная, параллельная данной прямой, не пересекает график функции \(f(x)\).

Ответ: Нет точки на графике функции \(f(x)\), в которой касательная будет параллельна прямой \(y = 9 + 5x\).