Определите значение Aₙ³ при условии, что четвёртое слагаемое разложения (корень 3 степени из x + 1/x)^n не зависит

Определите значение Aₙ³ при условии, что четвёртое слагаемое разложения (корень 3 степени из x + 1/x)^n не зависит от x. Запишите значение n. Определите.
Turandot_3315

Turandot_3315

Здравствуйте! Давайте вместе решим задачу и определим значение An3.

Итак, у нас есть разложение вида (x+1x3)n. Дано, что четвёртое слагаемое этого разложения не зависит от x. Нам нужно найти значение n для этого случая.

Давайте для начала рассмотрим разложение (x+1x)n. Это можно раскрыть с помощью биномиальной теоремы:

(x+1x)n=Cn0xn(1x)0+Cn1xn1(1x)1+Cn2xn2(1x)2+...+Cnnx0(1x)n.

Заметим, что при раскрытии этого разложения, каждое слагаемое будет иметь коэффициент вида Cnk, где k - степень x или 1x, а n - степень всего разложения.

Далее, у нас есть четвёртое слагаемое разложения (x+1x3)n, и нам говорят, что оно не зависит от x. Значит, в этом слагаемом нет x и 1x, и его коэффициент равен Cn3.

Теперь мы знаем, что четвёртое слагаемое имеет коэффициент Cn3, но нам нужно найти значение n.

Давайте рассмотрим формулу для биномиальных коэффициентов Cnk:

Cnk=n!k!(nk)!,

где n! - факториал числа n, а k! и (nk)! - факториалы чисел k и nk соответственно.

В нашем случае, k=3. Зная, что k равно 3, мы должны найти такое значение n, при котором коэффициент Cn3 есть в разложении.

Очевидно, коэффициент Cn3 будет равен числу комбинаций из n элементов, выбранных по 3 элемента. Таким образом, нам нужно найти значение n, при котором число комбинаций будет равно 1, так как это будет соответствовать нашему четвёртому слагаемому.

Учитывая формулу, мы можем записать следующее уравнение:

n!3!(n3)!=1.

Решим это уравнение.

Для начала, упростим его, умножив обе стороны на 3!(n3)!:

n!=6(n3)!.

Заметим, что 6(n3)! есть факториал числа 3, то есть 3!. То есть, у нас получается:

n!=3!(n3)!.

Теперь, мы можем сократить 3!(n3)! на обе стороны уравнения:

n!=n!.

Из данного уравнения следует, что для любого натурального числа n у нас получается равенство. Нет такого значения n, которое бы удовлетворяло условию задачи, а именно, что четвёртое слагаемое разложения (x+1x3)n не зависит от x.

Таким образом, мы не можем определить значение An3 в данной задаче.
Знаешь ответ?
Задать вопрос
Привет!
hello