Определите значение Aₙ³ при условии, что четвёртое слагаемое разложения (корень 3 степени из x + 1/x)^n не зависит

Здравствуйте! Давайте вместе решим задачу и определим значение $A_n^3$.

Итак, у нас есть разложение вида $(\sqrt[3]{x+\frac{1}{x}}{)}^n$. Дано, что четвёртое слагаемое этого разложения не зависит от $x$. Нам нужно найти значение $n$ для этого случая.

Давайте для начала рассмотрим разложение $(x+\frac{1}{x}{)}^n$. Это можно раскрыть с помощью биномиальной теоремы:

$(x+\frac{1}{x}{)}^n=C_n^0\cdot x^n\cdot (\frac{1}{x}{)}^0+C_n^1\cdot x^{n-1}\cdot (\frac{1}{x}{)}^1+C_n^2\cdot x^{n-2}\cdot (\frac{1}{x}{)}^2+...+C_n^n\cdot x^0\cdot (\frac{1}{x}{)}^n$.

Заметим, что при раскрытии этого разложения, каждое слагаемое будет иметь коэффициент вида $C_n^k$, где $k$ - степень $x$ или $\frac{1}{x}$, а $n$ - степень всего разложения.

Далее, у нас есть четвёртое слагаемое разложения $(\sqrt[3]{x+\frac{1}{x}}{)}^n$, и нам говорят, что оно не зависит от $x$. Значит, в этом слагаемом нет $x$ и $\frac{1}{x}$, и его коэффициент равен $C_n^3$.

Теперь мы знаем, что четвёртое слагаемое имеет коэффициент $C_n^3$, но нам нужно найти значение $n$.

Давайте рассмотрим формулу для биномиальных коэффициентов $C_n^k$:

$$C_n^k=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}$$,

где $n!$ - факториал числа $n$, а $k!$ и $(n-k)!$ - факториалы чисел $k$ и $n-k$ соответственно.

В нашем случае, $k=3$. Зная, что $k$ равно 3, мы должны найти такое значение $n$, при котором коэффициент $C_n^3$ есть в разложении.

Очевидно, коэффициент $C_n^3$ будет равен числу комбинаций из $n$ элементов, выбранных по 3 элемента. Таким образом, нам нужно найти значение $n$, при котором число комбинаций будет равно 1, так как это будет соответствовать нашему четвёртому слагаемому.

Учитывая формулу, мы можем записать следующее уравнение:

$$\frac{n!}{3!\cdot (n-3)!}=1$$.

Решим это уравнение.

Для начала, упростим его, умножив обе стороны на $3!\cdot (n-3)!$:

$$n!=6\cdot (n-3)!$$.

Заметим, что $6\cdot (n-3)!$ есть факториал числа 3, то есть $3!$. То есть, у нас получается:

$$n!=3!\cdot (n-3)!$$.

Теперь, мы можем сократить $3!\cdot (n-3)!$ на обе стороны уравнения:

$$n!=n!.$$

Из данного уравнения следует, что для любого натурального числа $n$ у нас получается равенство. Нет такого значения $n$, которое бы удовлетворяло условию задачи, а именно, что четвёртое слагаемое разложения ($\sqrt[3]{x+\frac{1}{x}}{)}^n$ не зависит от $x$.

Таким образом, мы не можем определить значение $A_n^3$ в данной задаче.