Определить интервалы, на которых функция выпукла и вогнута: f(x) = 2x^4 - 12x^2

Чтобы определить интервалы, на которых функция является выпуклой или вогнутой, нам нужно проанализировать её вторую производную. Для нашей функции f(x) = 2x^4 - 12x^2 найдем вторую производную и приравняем ее к нулю:

\[f""(x) = \frac{{d^2}}{{dx^2}} (2x^4 - 12x^2)\]

\[f""(x) = 24x^2 - 24\]

Чтобы найти интервалы, на которых функция выпукла или вогнута, нужно найти значения x, при которых вторая производная равна нулю или не существует, а затем проанализировать знак этой производной на различных интервалах.

Для начала найдем значения x, при которых вторая производная равна нулю:

\[24x^2 - 24 = 0\]

\[24x^2 = 24\]

\[x^2 = 1\]

\[x = \pm 1\]

Теперь проанализируем знак второй производной на различных интервалах. Для этого выберем тестовые точки на каждом интервале и проверим знак второй производной.

1. При \(x < -1\), возьмем \(x = -2\)

\[f""(-2) = 24(-2)^2 - 24 = 96 > 0\]

В этом интервале вторая производная положительна, следовательно, функция является выпуклой на интервале \(x < -1\).

2. При \(-1 < x < 1\), возьмем \(x = 0\)

\[f""(0) = 24(0)^2 - 24 = -24 < 0\]

В этом интервале вторая производная отрицательна, следовательно, функция является вогнутой на интервале \(-1 < x < 1\).

3. При \(x > 1\), возьмем \(x = 2\)

\[f""(2) = 24(2)^2 - 24 = 96 > 0\]

В этом интервале вторая производная положительна, следовательно, функция является выпуклой на интервале \(x > 1\).

Таким образом, мы можем заключить, что функция \(f(x) = 2x^4 - 12x^2\) является выпуклой на интервалах \(x < -1\) и \(x > 1\), а вогнутой на интервале \(-1 < x < 1\).