Определенная прямая l пересекает окружность ω в точках A и B. Возьмем одну из полуплоскостей, ограниченных прямой

Для доказательства данного утверждения воспользуемся следующими свойствами геометрической оптики:

1. Луч света, исходящий из точки и касающийся окружности внутри или на ней, перпендикулярен радиусу, проведенному в эту точку.

2. Луч света, исходящий из точки вне окружности, пересекает радиусы в точках A и B и делит их пополам.

Итак, чтобы доказать, что для точек вне окружности отрезок AB виден под углом, меньшим α, рассмотрим произвольную точку C вне окружности.

Проведем радиусы CA и CB. По свойству 2, указанному выше, лучи CB и CA попадают на окружность и касаются ее в точках B и A соответственно. Так как луч из точки C разделяет отрезок AB пополам, угол CAB будет равным углу CBA, и следовательно, он будет меньше угла α.

Теперь рассмотрим точку D, находящуюся внутри окружности. Проведем радиусы DA и DB.

Согласно свойству 1, указанному выше, лучи DA и DB перпендикулярны радиусам, проведенным к точке D. Так как лучи из точки D параллельны лучам из точки C, то угол DAB будет равен углу ACB, и следовательно, он будет больше угла α.

Таким образом, мы доказали, что для точек вне окружности отрезок АВ виден под углом, меньшим α, а для точек внутри окружности - под углом, большим α. Отметим, что этот результат справедлив для любой окружности и любой прямой, пересекающей ее.