Оцените долю всех телезрителей, которые предпочитают программы телеканала НТВ, путем построения 99%-ного доверительного

Для решения этой задачи нам понадобится использовать формулу для расчета доверительного интервала. Доверительный интервал позволяет нам судить о вероятном диапазоне значений оценки интересующей нас величины (в данном случае, доли телезрителей, предпочитающих программы НТВ).

Формула для расчета 99%-ного доверительного интервала для доли выглядит следующим образом:

\[ доверительный\; интервал = \hat{p} \pm z \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \]

где:
\(\hat{p}\) - выборочная пропорция (отношение количества телезрителей, предпочитающих НТВ, к общему количеству опрошенных),
\(z\) - критическое значение стандартного нормального распределения для заданного уровня доверия (в данном случае, 99%),
\(n\) - размер выборки (количество телезрителей, участвующих в опросе).

Давайте решим задачу пошагово:

Шаг 1: Найдем выборочную пропорцию \(\hat{p}\). Она рассчитывается как отношение количества телезрителей, предпочитающих НТВ, к общему количеству опрошенных:

\(\hat{p} = \frac{456}{1200} = 0.38\)

Шаг 2: Определим критическое значение стандартного нормального распределения для 99% уровня доверия. Воспользуемся таблицей значений Z-оценки для этого. Для 99% уровня доверия критическое значение будет равно приблизительно 2.576.

Шаг 3: Рассчитаем стандартную ошибку выборки:

\(\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.38(1-0.38)}{1200}} \approx 0.016\)

Шаг 4: Найдем границы доверительного интервала:

нижняя граница = \(\hat{p} - z \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = 0.38 - 2.576 \cdot 0.016 \approx 0.34\)

верхняя граница = \(\hat{p} + z \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = 0.38 + 2.576 \cdot 0.016 \approx 0.42\)

Шаг 5: Итак, построив 99%-ный доверительный интервал, мы получили, что доля телезрителей, предпочитающих программы телеканала НТВ, составляет от 0.34 до 0.42. Это означает, что с 99% уверенностью можно утверждать, что доля всех телезрителей, предпочитающих НТВ, находится в этом интервале.