Какое количество несократимых дробей с числителем x и знаменателем 16 существует, при которых данное неравенство

Данная задача относится к комбинаторике. Для решения её, давайте разобьем её на несколько шагов.

Шаг 1: Определяем условие неравенства

У нас есть неравенство \(\frac{x}{16} < 1\). Для того, чтобы неравенство выполнялось, числитель \(x\) должен быть меньше знаменателя 16.

Шаг 2: Определяем количество несократимых дробей

В данной задаче нам требуется найти количество несократимых дробей с числителем \(x\) и знаменателем 16, удовлетворяющих данному неравенству.

Чтобы количество дробей было максимальным, дроби должны быть взаимно простыми числителем и знаменателем. Взаимно простые числа не имеют общих делителей, кроме 1.

Шаг 3: Определяем количество взаимно простых чисел

Чтобы найти количество взаимно простых чисел с 16, нужно посчитать количество натуральных чисел, меньших 16, и взаимно простых с ним.

Натуральные числа меньше 16: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Теперь проверим каждое из этих чисел на взаимную простоту с 16.

1: Нет общих делителей, кроме 1, значит, взаимно простое.
2: Нет общих делителей, кроме 1, значит, взаимно простое.
3: Нет общих делителей, кроме 1, значит, взаимно простое.
4: Общий делитель 4, значит, НЕ взаимно простое.
5: Нет общих делителей, кроме 1, значит, взаимно простое.
6: Общий делитель 2, значит, НЕ взаимно простое.
7: Нет общих делителей, кроме 1, значит, взаимно простое.
8: Общий делитель 2, значит, НЕ взаимно простое.
9: Общий делитель 1, значит, НЕ взаимно простое.
10: Общий делитель 2, значит, НЕ взаимно простое.
11: Нет общих делителей, кроме 1, значит, взаимно простое.
12: Общий делитель 4, значит, НЕ взаимно простое.
13: Нет общих делителей, кроме 1, значит, взаимно простое.
14: Общий делитель 2, значит, НЕ взаимно простое.
15: Общий делитель 1, значит, НЕ взаимно простое.

Итак, мы имеем 8 взаимно простых чисел с 16 (1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 15).

Шаг 4: Определяем количество возможных дробей

Количество возможных несократимых дробей с числителем \(x\) и знаменателем 16 равно количеству взаимно простых чисел с 16.

Таким образом, ответ на задачу составляет 8 несократимых дробей с числителем \(x\) и знаменателем 16, при которых неравенство \(\frac{x}{16} < 1\) выполняется.

Надеюсь, данное пошаговое решение ясно объясняет решение задачи. Если у вас возникнут вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.