Нужно продемонстрировать, что в прямоугольнике ABCD отрезки AC и DM являются перпендикулярными, причем M является

Чтобы показать, что отрезки AC и DM являются перпендикулярными, мы можем воспользоваться свойством скалярного произведения векторов. Давайте рассмотрим векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{DM}\).

Сначала найдем координаты точек. Так как дано, что AB = 1 и BC = √2, мы можем найти координаты точек B и C. Пусть точка A имеет координаты (0, 0), тогда точка B будет иметь координаты (1, 0). Также, учитывая, что точка М является серединой отрезка BC, мы можем найти координаты точки M как среднее арифметическое координат точек B и C. Таким образом, координаты точки M будут (1 + 0, 0 + √2)/2 = (1/2, √2/2).

Теперь мы можем найти векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{DM}\). Вектор \(\overrightarrow{AC}\) можно найти, вычислив разность координат конечной и начальной точек:

\(\overrightarrow{AC} = (x_c - x_a, y_c - y_a)\),

где (x_a, y_a) - координаты точки A, а (x_c, y_c) - координаты точки C.

В нашем случае, координаты точки A равны (0, 0), а координаты точки C равны (1, √2). Подставляя значения в формулу, получаем:

\(\overrightarrow{AC} = (1 - 0, \sqrt{2} - 0) = (1, \sqrt{2})\).

Теперь найдем вектор \(\overrightarrow{DM}\). Координаты точки D равны (0, √2/2), а координаты точки M равны (1/2, √2/2). Подставляя значения в формулу, получаем:

\(\overrightarrow{DM} = \left(\frac{1}{2} - 0, \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 0\right)\).

Теперь вычислим скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{DM}\).

\(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DM} = (1, \sqrt{2}) \cdot \left(\frac{1}{2}, 0\right) = 1 \cdot \frac{1}{2} + \sqrt{2} \cdot 0 = \frac{1}{2}\).

Мы получили, что скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{DM}\) равно \(\frac{1}{2}\).

Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, это означает, что векторы перпендикулярны. В нашем случае скалярное произведение равно \(\frac{1}{2}\), что не равно нулю. Таким образом, мы можем сделать вывод, что отрезки AC и DM не являются перпендикулярными.

Взглянув на полученное скалярное произведение \(\frac{1}{2}\), мы видим, что оно не равно нулю, и поэтому два вектора AC и DM не являются перпендикулярными.