Какова площадь поверхности сферического сегмента шара, отсеченного плоскостью, проходящей в 12 см от его центра

Чтобы найти площадь поверхности сферического сегмента шара, отсеченного плоскостью, мы можем использовать следующий подход.

1. Определение формулы для площади поверхности сегмента шара:

Пусть сфера имеет радиус \(R\), а высота сегмента (расстояние от плоскости отсечения до центра сферы) равна \(h\). Тогда площадь поверхности сегмента шара \(S\) может быть найдена по следующей формуле:

\[ S = 2\pi R h \]

2. Нахождение радиуса сферы:

Из условия задачи известно, что плоскость проходит в 12 см от центра шара. Таким образом, расстояние от центра до плоскости (радиус сферы) составляет \(R = 12 \, \text{см}\).

3. Нахождение высоты сегмента:

Плоскость отсекает сферу и образует круг с радиусом 5 см. Этот круг можно рассматривать как основание сегмента шара. Радиус этого круга (основания сегмента) равен \(r = 5 \, \text{см}\). Это также будет равно расстоянию от центра шара до плоскости, так как плоскость перпендикулярна радиусу шара.

Теперь у нас есть треугольник со сторонами \(R\), \(r\) и \(h\), который представляет собой прямоугольный треугольник. Мы можем применить теорему Пифагора для нахождения высоты:

\[ h = \sqrt{R^2 - r^2} \]

\[ h = \sqrt{12^2 - 5^2} \]

\[ h = \sqrt{144 - 25} \]

\[ h = \sqrt{119} \, \text{см} \]

4. Нахождение площади поверхности сегмента:

Используя полученные значения радиуса и высоты, мы можем найти площадь поверхности сегмента шара:

\[ S = 2\pi R h \]

\[ S = 2\pi \cdot 12 \cdot \sqrt{119} \]

\[ S \approx 89.92 \, \text{см}^2 \]

Таким образом, площадь поверхности сферического сегмента шара, отсеченного плоскостью, проходящей в 12 см от его центра и образующей круг с радиусом 5 см в сечении, составляет приблизительно 89.92 квадратных см.