Нужно доказать, что точки а,в,с и м лежат в одной плоскости

Для доказательства того, что точки \(\mathbf{A}\), \(\mathbf{B}\), \(\mathbf{C}\) и \(\mathbf{M}\) лежат на одной плоскости, мы можем использовать определение коллинеарности точек.

Давайте предположим, что точки \(\mathbf{A}\), \(\mathbf{B}\), \(\mathbf{C}\) и \(\mathbf{M}\) не лежат на одной плоскости. В таком случае, мы должны найти противоречие для этого предположения.

Предположим, что точки \(\mathbf{A}\), \(\mathbf{B}\), \(\mathbf{C}\) и \(\mathbf{M}\) не лежат на одной плоскости. Тогда плоскость, проходящая через точки \(\mathbf{A}\), \(\mathbf{B}\) и \(\mathbf{C}\), не будет содержать точку \(\mathbf{M}\).

Рассмотрим отрезки \(\overline{\mathbf{AB}}\), \(\overline{\mathbf{AC}}\) и \(\overline{\mathbf{MC}}\). Если точки \(\mathbf{A}\), \(\mathbf{B}\), \(\mathbf{C}\) и \(\mathbf{M}\) лежат на одной плоскости, то эти отрезки должны быть коллинеарными.

Пусть точка \(\mathbf{P}\) будет точкой пересечения прямых, на которых лежат отрезки \(\overline{\mathbf{AB}}\) и \(\overline{\mathbf{AC}}\). Тогда треугольник \(\triangle \mathbf{ABC}\) можно разделить на два треугольника: \(\triangle \mathbf{APC}\) и \(\triangle \mathbf{APB}\).

В треугольнике \(\triangle \mathbf{APC}\) имеем две стороны \(\overline{\mathbf{AC}}\) и \(\overline{\mathbf{AP}}\), а в треугольнике \(\triangle \mathbf{APB}\) имеем две стороны \(\overline{\mathbf{AP}}\) и \(\overline{\mathbf{AB}}\). Однако, по свойству коллинеарных сторон треугольников, имеем \(\overline{\mathbf{AC}} \parallel \overline{\mathbf{AB}}\), следовательно, углы \(\angle \mathbf{APC}\) и \(\angle \mathbf{APB}\) соответственно дополнительные, так как они лежат на одной параллельной.

Теперь рассмотрим треугольник \(\triangle \mathbf{BMC}\), в котором имеем две стороны \(\overline{\mathbf{BM}}\) и \(\overline{\mathbf{MC}}\). Очевидно, что эти стороны также коллинеарны, так как они расположены на одной прямой.

Таким образом, получаем следующее: \(\angle \mathbf{APB} + \angle \mathbf{BMC} + \angle \mathbf{AMC} = 180^\circ\), так как угол \(\angle \mathbf{APC}\) и смежные противолежащие углы суммируются до \(180^\circ\).

Теперь рассмотрим треугольник \(\triangle \mathbf{AMC}\), в котором имеем две стороны \(\overline{\mathbf{AM}}\) и \(\overline{\mathbf{MC}}\). По свойству коллинеарности имеем \(\overline{\mathbf{AM}} \parallel \overline{\mathbf{AB}}\), следовательно, углы \(\angle \mathbf{AMC}\) и \(\angle \mathbf{APB}\) соответственно дополнительные, так как они лежат на одной параллельной.

Таким образом, получаем следующее: \(\angle \mathbf{AMC} + \angle \mathbf{APB} + \angle \mathbf{APB} = 180^\circ\).

Следовательно, мы получили противоречие, так как получили две различные суммы для углов, лежащих на одной прямой.

Таким образом, предположение о том, что точки \(\mathbf{A}\), \(\mathbf{B}\), \(\mathbf{C}\) и \(\mathbf{M}\) не лежат на одной плоскости, неверно.

Следовательно, мы можем заключить, что точки \(\mathbf{A}\), \(\mathbf{B}\), \(\mathbf{C}\) и \(\mathbf{M}\) лежат на одной плоскости.