Чему равно выражение 16sin a/2 * sin 3a/2, если значение cosa равно 3/4?

Дано выражение: \(\frac{{16\sin(a/2) \cdot \sin(3a/2)}}{{\cos(a)}}\), при условии \(\cos(a) = \frac{3}{4}\).

Давайте разберемся с выражением по шагам.

Шаг 1: Найдем значение \(\sin(a/2)\)
Перейдем к формуле половинного угла \(\sin(a/2) = \sqrt{\frac{{1 - \cos(a)}}{2}}\)
Подставим в нее значение \(\cos(a) = \frac{3}{4}\):
\(\sin(a/2) = \sqrt{\frac{{1 - \frac{3}{4}}}{2}} = \sqrt{\frac{{\frac{1}{4}}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}\)

Шаг 2: Найдем значение \(\sin(3a/2)\)
Аналогично, используем формулу половинного угла \(\sin(3a/2) = \sqrt{\frac{{1 - \cos(3a)}}{2}}\)
Но для того чтобы найти \(\cos(3a)\), нам понадобится тригонометрическая формула:
\(\cos(3a) = 4\cos^3(a) - 3\cos(a)\)
Подставим в нее значение \(\cos(a) = \frac{3}{4}\):
\(\cos(3a) = 4\left(\frac{3}{4}\right)^3 - 3\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{27}{64} - \frac{9}{4} = \frac{27 - 144}{64} = -\frac{117}{64}\)

Теперь подставим найденное значение \(\cos(3a)\) в формулу для \(\sin(3a/2)\):
\(\sin(3a/2) = \sqrt{\frac{{1 - \left(-\frac{117}{64}\right)}}{2}} = \sqrt{\frac{{\frac{64 + 117}{64}}}{2}} = \sqrt{\frac{{181}}{128}}\)

Шаг 3: Подставим найденные значения \(\sin(a/2)\) и \(\sin(3a/2)\) в исходное выражение
\(\frac{{16\sin(a/2) \cdot \sin(3a/2)}}{{\cos(a)}} = \frac{{16 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) \cdot \sqrt{\frac{{181}}{128}}}}{{\frac{3}{4}}}\)

Мы можем упростить выражение, сократив числители и знаменатель на \(\frac{1}{4}\):
\(\frac{{4 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{{181}}{128}}}}{{\frac{3}{4}}}\)

Заметим, что можно объединить корни:
\(\frac{{4 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{{181}}{128}}}}{{\frac{3}{4}}} = \frac{{4 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{181 \cdot 4}}}{{3}} = \frac{{\sqrt{2} \cdot \sqrt{724} \cdot 4}}{{3}} = \frac{{\sqrt{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{181} \cdot 4}}{{3}}\)

Теперь вычислим это значение:
\(\frac{{2 \cdot 2 \cdot \sqrt{181} \cdot 4}}{{3}} = \frac{{16 \cdot \sqrt{181}}}{{3}}\)

Таким образом, выражение \(\frac{{16\sin(a/2) \cdot \sin(3a/2)}}{{\cos(a)}}\) при условии \(\cos(a) = \frac{3}{4}\) равно \(\frac{{16 \cdot \sqrt{181}}}{{3}}\).