Необходимо вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x)=9−0,6x2, касательной к ней в точке с абсциссой

Для решения данной задачи, нам необходимо найти точку касания касательной на график функции \(f(x) = 9 - 0.6x^2\) и прямой, а также вычислить площадь фигуры между этой касательной, графиком функции и прямой. Давайте выполним эти шаги по порядку.

Шаг 1: Найдем точку касания
Чтобы найти точку касания касательной на график функции, нам нужно найти производную функции \(f(x)\) и оценить ее в точке \(x = -3\).

Производная функции \(f(x)\) найдется путем дифференцирования каждого члена выражения:
\[f"(x) = 0 - 0.6 \cdot 2x\]
\[f"(x) = -1.2x\]

Теперь мы можем оценить производную в точке \(x = -3\):
\[f"(-3) = -1.2 \cdot (-3) = 3.6\]

Таким образом, точка касания касательной на график функции находится в точке \((-3, f(-3))\), где \(f(-3) = 9 - 0.6 \cdot (-3)^2\).

Шаг 2: Найдем уравнение касательной
Для построения уравнения касательной понадобится точка касания и найденное значение производной в этой точке. Используем формулу:
\[y - y_1 = m(x - x_1)\],
где \((x_1, y_1)\) - координаты точки касания, \(m\) - значение производной в этой точке.

Подставим значения:
\[y - f(-3) = 3.6(x - (-3))\],
\[y - (9 - 0.6 \cdot (-3)^2) = 3.6(x + 3)\].

Это уравнение представляет собой уравнение касательной к графику функции \(f(x)\) в точке касания.

Шаг 3: Найдем точки пересечения прямой и графика функции
Прямая описывается уравнением \(y = ax + b\), где \(a\) и \(b\) - коэффициенты прямой. Вычислим эти коэффициенты с использованием информации о точке касания. Подставим значения вершину в уравнение прямой:
\[f(-3) = a \cdot (-3) + b\],
\[9 - 0.6 \cdot (-3)^2 = -3a + b\].

Шаг 4: Вычислим площадь фигуры
Площадь фигуры, ограниченной графиком функции, прямой и касательной, будет равна разности между интегралом функции \(f(x)\) и интегралом линии \(y = ax + b\) на заданном интервале.

Интеграл функции на заданном интервале можно вычислить следующим образом:
\[S_1 = \int_{a}^{b} f(x) dx\].

Интеграл прямой на заданном интервале будет:
\[S_2 = \int_{a}^{b} ax + b dx\].

Искомая площадь фигуры будет разностью между этими интегралами:
\[S = S_1 - S_2\].

Теперь у нас есть все необходимые шаги для решения задачи. Подставьте значения и выполните вычисления!