Необходимо доказать неравенство x^2+9y^4+1 ≥ -3xy^2-x+3y^2.
Михайловна
Давайте докажем данное неравенство шаг за шагом.
Исходное неравенство: \(x^2+9y^4+1 \geq -3xy^2-x+3y^2\)
Шаг 1: Перенесем все слагаемые справа влево:
\(x^2+3xy^2+x+9y^4-3y^2-1 \geq 0\)
Шаг 2: Сгруппируем похожие слагаемые:
\(x^2 + (3xy^2 + x) + (9y^4 - 3y^2 - 1) \geq 0\)
Шаг 3: Разложим на множители квадраты:
\(x^2 + (3xy^2 + x) + (3y^2 - 1)(3y^2 - 1) \geq 0\)
Шаг 4: Упростим выражение:
\(x^2 + 3xy^2 + x + 9y^4 - 6y^2 + 1 \geq 0\)
Шаг 5: Перепишем неравенство в виде суммы квадратов:
\((x^2 + 2xy^2 + y^2) + (2xy^2 + x - 2y^2) + (8y^4 - 8y^2 + 1) \geq 0\)
Шаг 6: Далее, мы можем переписать первое и третье слагаемое как квадраты:
\((x + y^2)^2 + (2xy^2 + x - 2y^2) + (2y^2 - 1)^2 \geq 0\)
Шаг 7: Упростим выражение:
\((x + y^2)^2 + 2xy^2 + x - 2y^2 + (2y^2 - 1)^2 \geq 0\)
Шаг 8: Последнее, что осталось, это разложить в квадраты для второго слагаемого:
\((x + y^2)^2 + (y^2 + x)^2 + (2y^2 - 1)^2 \geq 0\)
Квадрат любого числа неотрицательный, поэтому сумма трех неотрицательных чисел также будет неотрицательной. Следовательно, данное неравенство верно для любых значений \(x\) и \(y\), исходя из наших преобразований.
Исходное неравенство: \(x^2+9y^4+1 \geq -3xy^2-x+3y^2\)
Шаг 1: Перенесем все слагаемые справа влево:
\(x^2+3xy^2+x+9y^4-3y^2-1 \geq 0\)
Шаг 2: Сгруппируем похожие слагаемые:
\(x^2 + (3xy^2 + x) + (9y^4 - 3y^2 - 1) \geq 0\)
Шаг 3: Разложим на множители квадраты:
\(x^2 + (3xy^2 + x) + (3y^2 - 1)(3y^2 - 1) \geq 0\)
Шаг 4: Упростим выражение:
\(x^2 + 3xy^2 + x + 9y^4 - 6y^2 + 1 \geq 0\)
Шаг 5: Перепишем неравенство в виде суммы квадратов:
\((x^2 + 2xy^2 + y^2) + (2xy^2 + x - 2y^2) + (8y^4 - 8y^2 + 1) \geq 0\)
Шаг 6: Далее, мы можем переписать первое и третье слагаемое как квадраты:
\((x + y^2)^2 + (2xy^2 + x - 2y^2) + (2y^2 - 1)^2 \geq 0\)
Шаг 7: Упростим выражение:
\((x + y^2)^2 + 2xy^2 + x - 2y^2 + (2y^2 - 1)^2 \geq 0\)
Шаг 8: Последнее, что осталось, это разложить в квадраты для второго слагаемого:
\((x + y^2)^2 + (y^2 + x)^2 + (2y^2 - 1)^2 \geq 0\)
Квадрат любого числа неотрицательный, поэтому сумма трех неотрицательных чисел также будет неотрицательной. Следовательно, данное неравенство верно для любых значений \(x\) и \(y\), исходя из наших преобразований.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
