Найти значение тангенса угла между плоскостями АВС и А1ВС в прямой призме АВСА1В1С1, если известно, что АА1 = 6

Чтобы найти значение тангенса угла между плоскостями АВС и А1ВС в прямой призме АВСА1В1С1, нам понадобится использовать несколько геометрических свойств и формул.

Первым шагом давайте посмотрим на рисунок и разберемся с обозначениями:

\[
\begin{align*}
A, B, C & : \text{точки на плоскости ABC} \\
A_1, B_1, C_1 & : \text{точки на плоскости A1B1C1} \\
AA_1 & : \text{высота призмы} \\
AB & : \text{ребро призмы} \\
AC & : \text{ребро призмы} \\
\angle АСК & : \text{угол между плоскостями ABC и A1BC}
\end{align*}
\]

Теперь нам нужно использовать формулу для нахождения тангенса угла между двумя плоскостями. Для этого мы можем использовать отношение высоты призмы к одному из ребер:

\[
\tan(\angle АСК) = \frac{{AA_1}}{{AB}}
\]

Мы знаем, что \(AA_1 = 6\) см, поэтому вставим эти значения в формулу:

\[
\tan(\angle АСК) = \frac{{6}}{{AB}}
\]

Остается найти длину ребра AB. Для этого мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, примененной к треугольнику ABC:

\[
AB^2 = AC^2 + BC^2
\]

У нас есть значение AC (12 см), но нам нужно найти значение BC. Здесь мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника A1BC:

\[
BC^2 = A_1C_1^2 + A_1B_1^2
\]

Опять же, у нас есть значение A1C1 (12 см), но нам нужно найти значение A1B1. Похожим образом мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника A1B1C1:

\[
A_1B_1^2 = A_1C_1^2 + C_1B_1^2
\]

Мы знаем значение A1C1 (12 см), но нужно найти значение C1B1. Воспользуемся для этого теоремой Пифагора для треугольника AB1C1:

\[
C_1B_1^2 = AB_1^2 + A_1B_1^2
\]

Наконец, мы знаем значение A1B1 (6 см), но нужно найти значение AB1. Вновь используем теорему Пифагора для треугольника ABC:

\[
AB_1^2 = AC^2 + CB_1^2
\]

Итак, теперь у нас есть все необходимые формулы для решения задачи по шагам. Давайте приступим к решению:

1. Найдем значение C1B1:

\[
C_1B_1^2 = AB_1^2 + A_1B_1^2
\]

Подставляем значение A1B1 (6 см):

\[
C_1B_1^2 = AB_1^2 + 6^2
\]

\emph{(Обоснование: применяем теорему Пифагора)}

2. Найдем значение AB1:

\[
AB_1^2 = AC^2 + CB_1^2
\]

Подставляем значение AC (12 см) и значение C1B1 из предыдущего шага:

\[
AB_1^2 = 12^2 + C_1B_1^2
\]

\emph{(Обоснование: применяем теорему Пифагора)}

3. Найдем значение BC:

\[
BC^2 = A_1C_1^2 + A_1B_1^2
\]

Подставляем значение A1C1 (12 см) и значение A1B1 (6 см):

\[
BC^2 = 12^2 + 6^2
\]

\emph{(Обоснование: применяем теорему Пифагора)}

4. Найдем значение AB:

\[
AB^2 = AC^2 + BC^2
\]

Подставляем значение AC (12 см) и значение BC из предыдущего шага:

\[
AB^2 = 12^2 + BC^2
\]

\emph{(Обоснование: применяем теорему Пифагора)}

5. Найдем значение тангенса угла между плоскостями:

\[
\tan(\angle АСК) = \frac{{6}}{{AB}}
\]

Подставляем значение AB из предыдущего шага:

\[
\tan(\angle АСК) = \frac{{6}}{{\sqrt{AB^2}}}
\]

\emph{(Обоснование: используем формулу определения тангенса)}

Вот и весь пошаговый процесс решения этой задачи. Теперь вы можете взять свой калькулятор и посчитать значение тангенса угла между плоскостями АВС и А1ВС в прямой призме АВСА1В1С1.