Найти значение тангенса угла между плоскостями АВС и А1ВС в прямой призме АВСА1В1С1, если известно, что АА1 = 6

Чтобы найти значение тангенса угла между плоскостями АВС и А1ВС в прямой призме АВСА1В1С1, нам понадобится использовать несколько геометрических свойств и формул.

Первым шагом давайте посмотрим на рисунок и разберемся с обозначениями:

$$\begin{array}{rl}A,B,C& :\text{точки на плоскости ABC}\\ A_1,B_1,C_1& :\text{точки на плоскости A1B1C1}\\ A{A}_1& :\text{высота призмы}\\ AB& :\text{ребро призмы}\\ AC& :\text{ребро призмы}\\ \mathrm{\angle }АСК& :\text{угол между плоскостями ABC и A1BC}\end{array}$$

Теперь нам нужно использовать формулу для нахождения тангенса угла между двумя плоскостями. Для этого мы можем использовать отношение высоты призмы к одному из ребер:

$$\tan (\mathrm{\angle }АСК)=\frac{A{A}_1}{AB}$$

Мы знаем, что $A{A}_1=6$ см, поэтому вставим эти значения в формулу:

$$\tan (\mathrm{\angle }АСК)=\frac{6}{AB}$$

Остается найти длину ребра AB. Для этого мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, примененной к треугольнику ABC:

$$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2$$

У нас есть значение AC (12 см), но нам нужно найти значение BC. Здесь мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника A1BC:

$$B{C}^2=A_1{C}_1^2+A_1{B}_1^2$$

Опять же, у нас есть значение A1C1 (12 см), но нам нужно найти значение A1B1. Похожим образом мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника A1B1C1:

$$A_1{B}_1^2=A_1{C}_1^2+C_1{B}_1^2$$

Мы знаем значение A1C1 (12 см), но нужно найти значение C1B1. Воспользуемся для этого теоремой Пифагора для треугольника AB1C1:

$$C_1{B}_1^2=A{B}_1^2+A_1{B}_1^2$$

Наконец, мы знаем значение A1B1 (6 см), но нужно найти значение AB1. Вновь используем теорему Пифагора для треугольника ABC:

$$A{B}_1^2=A{C}^2+C{B}_1^2$$

Итак, теперь у нас есть все необходимые формулы для решения задачи по шагам. Давайте приступим к решению:

1. Найдем значение C1B1:

$$C_1{B}_1^2=A{B}_1^2+A_1{B}_1^2$$

Подставляем значение A1B1 (6 см):

$$C_1{B}_1^2=A{B}_1^2+6^2$$

\emph{(Обоснование: применяем теорему Пифагора)}

2. Найдем значение AB1:

$$A{B}_1^2=A{C}^2+C{B}_1^2$$

Подставляем значение AC (12 см) и значение C1B1 из предыдущего шага:

$$A{B}_1^2={12}^2+C_1{B}_1^2$$

\emph{(Обоснование: применяем теорему Пифагора)}

3. Найдем значение BC:

$$B{C}^2=A_1{C}_1^2+A_1{B}_1^2$$

Подставляем значение A1C1 (12 см) и значение A1B1 (6 см):

$$B{C}^2={12}^2+6^2$$

\emph{(Обоснование: применяем теорему Пифагора)}

4. Найдем значение AB:

$$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2$$

Подставляем значение AC (12 см) и значение BC из предыдущего шага:

$$A{B}^2={12}^2+B{C}^2$$

\emph{(Обоснование: применяем теорему Пифагора)}

5. Найдем значение тангенса угла между плоскостями:

$$\tan (\mathrm{\angle }АСК)=\frac{6}{AB}$$

Подставляем значение AB из предыдущего шага:

$$\tan (\mathrm{\angle }АСК)=\frac{6}{\sqrt{A{B}^2}}$$

\emph{(Обоснование: используем формулу определения тангенса)}

Вот и весь пошаговый процесс решения этой задачи. Теперь вы можете взять свой калькулятор и посчитать значение тангенса угла между плоскостями АВС и А1ВС в прямой призме АВСА1В1С1.