В якому інтервалі знаходиться корінь рівняння 3х - 2 / (х + 1

Для начала, давайте проанализируем данное уравнение и найдем его корни.

У нас есть уравнение \(3x - \frac{2}{x+1}\). Чтобы найти корень этого уравнения, нужно решить его, приравняв его к нулю.

Итак, запишем наше уравнение и приравняем его к нулю:

\[3x - \frac{2}{x+1} = 0\]

Приведем данное уравнение к общему знаменателю:

\[3x(x+1) - 2 = 0\]

Распишем скобку:

\[3x^2 + 3x - 2 = 0\]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Применим дискриминант для определения числа корней и их характера.

Дискриминант (\(\Delta\)) квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) можно посчитать по формуле \(\Delta = b^2 - 4ac\).

В нашем случае \(a = 3\), \(b = 3\), и \(c = -2\), поэтому можем посчитать дискриминант:

\[\Delta = (3)^2 - 4(3)(-2) = 9 + 24 = 33\]

Теперь, используя дискриминант, мы можем определить количество корней и их характер.

1. Если \(\Delta > 0\), то уравнение имеет два различных вещественных корня.
2. Если \(\Delta = 0\), то уравнение имеет один вещественный корень кратности два.
3. Если \(\Delta < 0\), то уравнение не имеет вещественных корней.

В нашем случае \(\Delta = 33\), так как \(\Delta > 0\), уравнение имеет два различных вещественных корня.

Теперь найдем сами корни уравнения. Для этого используем формулу квадратного корня:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\]

Подставим значения \(a = 3\), \(b = 3\), и \(\Delta = 33\) в данную формулу:

\[x = \frac{-3 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 3}\]

Упростим:

\[x = \frac{-3 \pm \sqrt{33}}{6}\]

Теперь мы можем найти два значения \(x\), которые являются корнями данного уравнения.

Расширим уравнение, чтобы учесть оба значения \(x\):

\[x_1 = \frac{-3 + \sqrt{33}}{6}\]
\[x_2 = \frac{-3 - \sqrt{33}}{6}\]

Таким образом, корни уравнения \(3x - \frac{2}{x+1} = 0\) равны \(x_1 = \frac{-3 + \sqrt{33}}{6}\) и \(x_2 = \frac{-3 - \sqrt{33}}{6}\).

Теперь, чтобы определить интервал, в котором находятся эти корни, нужно проанализировать знаки выражений внутри и вне интервала, а также знаки коэффициентов перед \(x\) в уравнении.

Определим знаки выражений внутри и вне интервала:

Когда \(x < -1\), выражение \(x + 1\) отрицательное, а значит, \(\frac{2}{x + 1}\) положительное.
Когда \(-1 < x < \frac{-3 - \sqrt{33}}{6}\), и \(x + 1\) положительное, а значит, \(\frac{2}{x + 1}\) положительное.
Когда \(\frac{-3 - \sqrt{33}}{6} < x < \frac{-3 + \sqrt{33}}{6}\), оба выражения \((x + 1)\) и \(\frac{2}{x + 1}\) отрицательные.
Когда \(x > \frac{-3 + \sqrt{33}}{6}\), и \(x + 1\) положительное, а значит, \(\frac{2}{x + 1}\) положительное.

Анализируя выражения, мы можем сделать следующий вывод:

Интервал, в котором находится корень уравнения \(3x - \frac{2}{x+1}\), это от \(-\infty\) до \(\frac{-3 - \sqrt{33}}{6}\) и от \(\frac{-3 + \sqrt{33}}{6}\) до \(+\infty\).

Надеюсь, что это пошаговое решение помогло вам понять, как найти корни уравнения и определить интервал, в котором они находятся. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать. Я всегда готов помочь!