Найти значение коэффициента затухания для тела массой 0,05 кг, которое подвешено на невесомой пружине с коэффициентом

Для решения этой задачи мы можем использовать второй закон Ньютона для системы "масса-пружина". Напомним, что в общем виде второй закон Ньютона формулируется как \(F = ma\), где \(F\) - сила, \(m\) - масса тела, \(a\) - ускорение тела.

В данной задаче мы имеем дело с вынужденными колебаниями, следовательно, тело подвергается воздействию внешней силы, вызывающей колебания. Эта сила будет иметь вид \(F = F_0 \cos(\omega t)\), где \(F_0\) - амплитуда силы, \(\omega\) - угловая частота колебаний, \(t\) - время.

Так как смещение центра инерции тела отстает по фазе от вынуждающей силы на \(0,75\pi\), то мы можем использовать это замечание, чтобы найти фазовую разность между силой и смещением. Фазовая разность равна аргументу комплексного числа, представляющего отношение смещения к силе. В данном случае фазовая разность равна \(0,75\pi\), что соответствует углу \(\frac{3}{4}\pi\).

Зная, что фазовая разность между силой и смещением равна аргументу их отношения, мы можем записать это отношение в комплексной форме как \(\frac{s}{F} = \exp\left(i\frac{3}{4}\pi\right)\), где \(s\) - смещение, \(F\) - сила.

Запишем второй закон Ньютона для системы "масса-пружина" в виде \(m\frac{d^2s}{dt^2} + k s = F_0 \cos(\omega t)\).

Подставляя второй закон Ньютона в выражение для отношения смещения к силе и используя формулу Эйлера \(e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)\), получим:

\(m\frac{d^2s}{dt^2} + k s = F_0 \cos(\omega t)\), где \(m\) - масса, \(k\) - коэффициент жесткости, \(F_0\) - амплитуда силы, \(\omega\) - угловая частота колебаний, \(s\) - смещение.

Для решения этого дифференциального уравнения второго порядка, мы можем предположить решение в виде \(s(t) = A \cos(\omega t + \phi)\), где \(A\) - амплитуда смещения и \(\phi\) - начальная фаза.

Подставляя предположенное решение в дифференциальное уравнение, получаем:

\(-m\omega^2 A \cos(\omega t + \phi) + k A \cos(\omega t + \phi) = F_0 \cos(\omega t)\).

Сравнивая коэффициенты при \(\cos(\omega t)\) и \(\sin(\omega t)\) на обеих сторонах уравнения, получим систему уравнений:

\(-m\omega^2 A + k A = 0\) (коэффициент при \(\cos(\omega t)\)),

и

\(-m\omega^2 A + k A = F_0\) (коэффициент при \(\sin(\omega t)\)).

Решая систему уравнений относительно \(A\), получаем:

\(-m\omega^2 A + k A = 0\),

\((k - m\omega^2)A = 0\),

\(A = 0\) или \((k - m\omega^2) = 0\).

Так как \(A\) - амплитуда смещения, то решение \(A = 0\) из физических соображений не имеет смысла, остается только решение \((k - m\omega^2) = 0\).

Подставляя значения \(m = 0,05\) кг и \(\omega = 25\) рад/с в это уравнение, мы можем найти значение коэффициента затухания \(k\):

\(k - 0,05 \cdot (25)^2 = 0\),

\(k - 31,25 = 0\),

\(k = 31,25\) Н/м.

Таким образом, значение коэффициента затухания для данного тела составляет \(31,25\) Н/м.