Найти значение длины стороны AB треугольника ABC. Дано: AC= 40,2 см; ∢ B= 30°; ∢ C= 45°. Представьте ответ упрощенным

Чтобы найти значение длины стороны AB треугольника ABC, мы можем использовать теорему синусов. Теорема синусов гласит, что отношение длины каждой стороны треугольника к синусу ее противолежащего угла одинаково для всех трех сторон треугольника.

Для данного треугольника, мы имеем следующую информацию: AC = 40,2 см, ∢B = 30° и ∢C = 45°.

Сначала найдем значение стороны BC, используя теорему синусов. Мы можем записать соотношение следующим образом:

\[\frac{BC}{\sin(\angle B)} = \frac{AC}{\sin(\angle C)}\]

Подставляя известные значения, получим:

\[\frac{BC}{\sin(30°)} = \frac{40,2}{\sin(45°)}\]

Вычисляя значения синусов 30° и 45° и заменяя их в уравнении, получим:

\[\frac{BC}{\frac{1}{2}} = \frac{40,2}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\]

Упрощая выражение, получим:

\[2BC = 40,2 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}\]

Далее, решаем уравнение относительно BC:

\[BC = \frac{40,2 \cdot 2}{2\sqrt{2}}\]

Упрощая еще раз, получим:

\[BC = \frac{40,2}{\sqrt{2}}\]

Теперь, чтобы найти значение стороны AB, мы можем использовать теорему синусов снова. Запишем соотношение следующим образом:

\[\frac{AB}{\sin(\angle A)} = \frac{AC}{\sin(\angle C)}\]

Учитывая, что сумма всех углов треугольника равна 180°, мы можем найти значение ∢A:

∢A = 180° - ∢B - ∢C
∢A = 180° - 30° - 45°
∢A = 105°

Теперь подставим известные значения, чтобы найти значение стороны AB:

\[\frac{AB}{\sin(105°)} = \frac{40,2}{\sin(45°)}\]

Вычисляем значения синусов 105° и 45° и подставляем их в уравнение:

\[\frac{AB}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} = \frac{40,2}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\]

Упрощая выражение, получим:

\[AB = \frac{40,2 \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\]

Далее, решаем уравнение относительно AB:

\[AB = \frac{40,2 \cdot (\sqrt{6}+\sqrt{2})}{2\sqrt{2}}\]

Упрощая еще раз, получим:

\[AB = \frac{20,1 \cdot (\sqrt{6}+\sqrt{2})}{\sqrt{2}}\]

Таким образом, значение длины стороны AB треугольника ABC равно \(\frac{20,1 \cdot (\sqrt{6}+\sqrt{2})}{\sqrt{2}}\) см.