Найти угол между векторами а(4; 7) и b(11

Для того чтобы найти угол между векторами \(\mathbf{a} = (4, 7)\) и \(\mathbf{b} = (11, -2)\), мы можем воспользоваться формулой скалярного произведения векторов.

Скалярное произведение \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\) равно произведению длин этих векторов и косинусу угла между ними:

\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \cos \theta
\]

где \(|\mathbf{a}|\) и \(|\mathbf{b}|\) - это длины векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) соответственно, а \(\theta\) - искомый угол между векторами.

Первым шагом мы должны вычислить длины данных векторов. Для этого необходимо использовать формулу:

\[
|\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}
\]
\[
|\mathbf{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2}
\]

где \(a_1\) и \(a_2\) - компоненты вектора \(\mathbf{a}\), а \(b_1\) и \(b_2\) - компоненты вектора \(\mathbf{b}\).

Подстановка значений дает нам:

\[
|\mathbf{a}| = \sqrt{4^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65}
\]
\[
|\mathbf{b}| = \sqrt{11^2 + (-2)^2} = \sqrt{121 + 4} = \sqrt{125}
\]

Теперь, используя значение длин векторов, мы можем вычислить скалярное произведение \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\):

\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (4, 7) \cdot (11, -2) = 4 \cdot 11 + 7 \cdot -2 = 44 - 14 = 30
\]

После этого мы можем найти косинус угла \(\cos \theta\):

\[
\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}|} = \frac{30}{\sqrt{65} \cdot \sqrt{125}}
\]

Теперь нам необходимо вычислить значение угла \(\theta\). Для этого мы воспользуемся обратной тригонометрической функцией \(\arccos\):

\[
\theta = \arccos\left(\frac{30}{\sqrt{65} \cdot \sqrt{125}}\right)
\]

Подсчет дает нам следующее значение угла:

\[
\theta \approx 0.958 \, \text{радиан} \approx 54.98 \, \text{градусов}
\]

Таким образом, угол между векторами \(\mathbf{a}(4, 7)\) и \(\mathbf{b}(11, -2)\) составляет примерно 54.98 градусов.