Який периметр цього прямокутного трикутника, якщо гіпотенуза дорівнює 10 см, а радіус вписаного в нього кола –

Для решения данной задачи, нам потребуется использовать некоторые свойства прямоугольного треугольника и окружности, вписанной в него.

Первое, что нам необходимо сделать, это найти длины катетов треугольника. Воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин его катетов.

Пусть один катет треугольника равен \(a\), а другой катет равен \(b\). Тогда по теореме Пифагора у нас есть следующее уравнение:

\[a^2 + b^2 = 10^2\]

Теперь мы можем приступить к поиску периметра треугольника. Периметр определяется как сумма длин всех сторон. В нашем случае, у нас есть три стороны: гипотенуза и два катета.

Длина гипотенузы уже известна и равна 10 см, а длины катетов мы обозначили как \(a\) и \(b\). Тогда периметр \(P\) будет равен сумме длин всех сторон:

\[P = a + b + 10\]

Теперь нам нужно найти длины катетов \(a\) и \(b\). Для этого обратимся к свойству вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности является расстоянием от центра окружности до каждой из сторон треугольника. В данной задаче радиусом вписанной окружности обозначено \(r\).

Так как в прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности делит каждый из катетов на две равные части, то мы можем записать следующее:

\[a = 2r\]
\[b = 2r\]

Теперь мы можем заменить значения катетов в формуле для периметра:

\[P = 2r + 2r + 10\]

Упростим выражение:

\[P = 4r + 10\]

Итак, периметр треугольника равен 4r + 10, где r - радиус вписанной окружности.

Обоснование:
- Мы использовали свойство прямоугольного треугольника, что сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.
- Мы воспользовались свойством вписанной окружности, что радиус делит катеты на две равные части.