Найти остаток от деления многочлена Q(x) на (x3+x2−2x), если многочлен Q(x) делится без остатка на (x−1), а при делении

Чтобы найти остаток от деления многочлена \(Q(x)\) на \(x^3 + x^2 - 2x\), нам нужно использовать алгоритм деления многочленов. Начнем с того, что примем \(Q(x) = (x-1)(x^3 + x^2 - 2x) + R(x)\), где \(R(x)\) - остаток от деления \(Q(x)\) на \(x^3 + x^2 - 2x\).

Мы знаем, что многочлен \(Q(x)\) делится без остатка на \(x-1\), это означает, что \(x-1\) является одним из множителей \(Q(x)\). Также нам известно, что при делении \(Q(x)\) на \(x^2 + 2x\) получается остаток \(-2x+5\).

Чтобы найти остаток при \(x = -8\), нам необходимо подставить \(x = -8\) в \(Q(x)\) и найти значение остатка. Давайте проделаем все шаги последовательно.

1. Найдем остаток от деления \(Q(x)\) на \(x-1\). Подставим \(x = 1\) в \(Q(x)\), так как многочлен делится без остатка на \(x-1\):

\[Q(1) = (1-1)(1^3 + 1^2 - 2\cdot1) + R(1)\]

Упростим:

\[Q(1) = 0 + R(1)\]

Таким образом, \(R(1) = Q(1) = 0\).

2. Теперь рассмотрим деление многочлена \(Q(x)\) с остатком на \(x^2 + 2x\). Запишем это деление в виде:

\[Q(x) = (x^2 + 2x) \cdot P(x) + (-2x + 5)\]

где \(P(x)\) - некоторый многочлен.

3. Подставим \(x = -8\) в уравнение выше, чтобы найти значение остатка:

\[Q(-8) = (-8^2 + 2(-8)) \cdot P(-8) + (-2(-8) + 5)\]

Упростим:

\[Q(-8) = (-64 + 16) \cdot P(-8) + (16 + 5)\]

\[Q(-8) = -48 \cdot P(-8) + 21\]

Таким образом, значение остатка при \(x = -8\) равно 21.

Итак, ответ: остаток от деления многочлена \(Q(x)\) на \(x^3 + x^2 - 2x\) при \(x = -8\) равен 21.