Найти координаты точки пересечения медиан треугольника, вершинами которого являются точки А (-3; 1), В (7

; 4) и С (2; -2).

Для нахождения координат точки пересечения медиан треугольника, можно использовать следующий подход:

Шаг 1: Найдем координаты середины сторон треугольника.
Для стороны AB, координаты середины будут:
\[ \left(\frac{{x_A+x_B}}{2}, \frac{{y_A+y_B}}{2}\right) = \left(\frac{{-3+7}}{2}, \frac{{1+4}}{2}\right) = (2, \frac{5}{2})\]

Для стороны BC, координаты середины будут:
\[ \left(\frac{{x_B+x_C}}{2}, \frac{{y_B+y_C}}{2}\right) = \left(\frac{{7+2}}{2}, \frac{{4+(-2)}}{2}\right) = (4.5, 1)\]

Для стороны CA, координаты середины будут:
\[ \left(\frac{{x_C+x_A}}{2}, \frac{{y_C+y_A}}{2}\right) = \left(\frac{{2+(-3)}}{2}, \frac{{-2+1}}{2}\right) = (-0.5, -\frac{1}{2})\]

Шаг 2: Найдем уравнения медиан треугольника, проходящих через найденные середины сторон.
Для медианы, проходящей через середину стороны AB, и вершину C, уравнение будет иметь вид:
\[y - \frac{5}{2} = \frac{(\frac{4}{1} - \frac{5}{2})}{(7 - 2)} (x - 2)\]
Упростим это уравнение:
\[y - \frac{5}{2} = -\frac{3}{5} (x - 2)\]
\[5y - \frac{25}{2} = -3(x - 2)\]
\[5y - \frac{25}{2} = -3x + 6\]
\[3x + 5y = \frac{37}{2}\]

Аналогично, найдем уравнения для других двух медиан.

Для медианы, проходящей через середину стороны BC, и вершину А:
\[y - 1 = \frac{(\frac{1}{2} - 1)}{(4.5 - (-0.5))}(x - 4.5)\]
Упростим это уравнение:
\[y - 1 = \frac{-1}{5}(x - 4.5)\]
\[5y - 5 = -\frac{1}{5}x + \frac{9}{2}\]
\[\frac{1}{5}x + 5y = \frac{19}{2}\]

Для медианы, проходящей через середину стороны CA, и вершину B:
\[y - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{(-\frac{1}{2} - \frac{5}{2})}{(-0.5 - 2)}(x - (-0.5))\]
Упростим это уравнение:
\[y + \frac{1}{2} = \frac{-3}{7}(x + 0.5)\]
\[7y + \frac{7}{2} = -3x - \frac{15}{2}\]
\[3x + 7y = -11\]

Шаг 3: Решим систему уравнений, состоящую из трех уравнений медиан, найденных на предыдущем шаге.

\[ \begin{cases}
3x + 5y = \frac{37}{2} \\
\frac{1}{5}x + 5y = \frac{19}{2} \\
3x + 7y = -11
\end{cases} \]

Используя метод сложения, мы можем найти значения x и y. Давайте решим эту систему:

Умножим второе уравнение на 5, чтобы избавиться от дроби:
\[ x + 25y = \frac{95}{2}\]

Теперь сложим первое и второе уравнения, чтобы убрать переменную x:
\[ 4x + 30y = 48\]

Теперь вычтем из третьего уравнения удвоенное второе уравнение:
\[ -12y = -107\]

Разделим оба выражения на -12:
\[ y = \frac{107}{12}\]

Подставим значение y во второе уравнение:
\[ \frac{1}{5}x + 5 \cdot \frac{107}{12} = \frac{19}{2}\]
\[ \frac{1}{5}x + \frac{535}{12} = \frac{19}{2}\]
\[ \frac{1}{5}x = \frac{114}{12}\]
\[ x = \frac{570}{12} = \frac{95}{2}\]

Таким образом, координаты точки пересечения медиан треугольника будут (95/2, 107/12).

Надеюсь, это решение понятно. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!