Найти интервал значений функции y = 3x2 – 4x + 8 при x в диапазоне

Для того чтобы найти интервал значений функции \(y = 3x^2 - 4x + 8\) при \(x\) в определенном диапазоне, мы можем применить несколько методов. Давайте начнем с графического представления функции.

1. Графический метод: Построим график функции \(y = 3x^2 - 4x + 8\), чтобы визуально определить интервал значений.

Для построения графика, нам нужно выразить функцию в виде \(y = ax^2 + bx + c\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты. В данном случае, \(a = 3\), \(b = -4\) и \(c = 8\).

\[
y = 3x^2 - 4x + 8
\]

Затем, мы можем построить график используя это уравнение. Используя плоскость координат, нарисуем график функции.

_Вставка графика_

На графике мы можем увидеть, что функция \(y = 3x^2 - 4x + 8\) представляет собой параболу, которая открывается вверх. Это значит, что функция имеет верхнюю границу (максимум), но не имеет нижнюю границу (минимум).

2. Аналитический метод: Для наглядности и подтверждения графического метода, мы можем использовать аналитический подход.

Для начала, перепишем функцию в стандартной форме параболы: \(y = a(x - h)^2 + k\), где \((h, k)\) - координаты вершины параболы.

Для нашей функции \(y = 3x^2 - 4x + 8\), найдем координаты вершины используя формулы \(h = -\frac{b}{2a}\) и \(k = f(h)\), где \(f(h)\) - подстановка найденного \(h\) в исходную функцию.

Расчет:
\[
h = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(3)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
\]
\[
k = f\left(\frac{2}{3}\right) = 3\left(\frac{2}{3}\right)^2 - 4\left(\frac{2}{3}\right) + 8 = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} + 8 = \frac{12}{3} = 4
\]

Таким образом, координаты вершины параболы равны \(\left(\frac{2}{3}, 4\right)\).

Из аналитической точки зрения, вершина параболы представляет максимальное значение функции. Поэтому интервал значений функции \(y = 3x^2 - 4x + 8\) при \(x\) в диапазоне определяется как \([4, +\infty)\).

3. Использование дифференциального исчисления: Мы также можем использовать дифференциальное исчисление для нахождения экстремумов функции.

Для данной функции \(y = 3x^2 - 4x + 8\), найдем производную функции \(y"\) и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки.

Расчет:
\[
y" = 6x - 4
\]
\[
6x - 4 = 0
\]
\[
6x = 4
\]
\[
x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
\]

Таким образом, критическая точка функции находится при \(x = \frac{2}{3}\). Используя это значение \(x\), мы можем рассчитать соответствующее значение \(y\) с помощью исходной функции:

\[
y = 3\left(\frac{2}{3}\right)^2 - 4\left(\frac{2}{3}\right) + 8 = 4
\]

Таким образом, критическая точка функции (максимум) находится при \(\left(\frac{2}{3}, 4\right)\), что подтверждает наши предыдущие результаты.

Итак, мы можем заключить, что интервал значений функции \(y = 3x^2 - 4x + 8\) при \(x\) в диапазоне равен \([4, +\infty)\), где функция достигает своего максимального значения.