Нарисуйте график функции y=f(x) и определите, является ли функция непрерывной в точке x0=0

Хорошо! Для начала определим, что такое непрерывная функция. Функция называется непрерывной в точке \(x_0\), если её значение в этой точке равно пределу значений функции при стремлении аргумента к \(x_0\). То есть, если \(\lim_{{x \to x_0}} f(x) = f(x_0)\), то функция непрерывна в точке \(x_0\).

Чтобы построить график функции \(y = f(x)\), нужно знать её уравнение или набор значений. Для этой задачи давайте предположим, что у нас есть уравнение \(f(x)\). Для наглядности и общего понимания, я воспользуюсь примером и возьму простую функцию \(f(x) = x^3\).

Перейдем к построению графика. Начнем с нахождения значений функции \(f(x)\) при различных значениях \(x\). Для начала рассмотрим несколько значений, например, когда \(x = -2, -1, 0, 1\) и \(2\). Подставим эти значения в уравнение функции \(f(x)\) и найдем соответствующие значения \(y\):

\[f(-2) = (-2)^3 = -8\]
\[f(-1) = (-1)^3 = -1\]
\[f(0) = (0)^3 = 0\]
\[f(1) = (1)^3 = 1\]
\[f(2) = (2)^3 = 8\]

Теперь у нас есть некоторые значения \(y\) для заданных \(x\). Построим график, где по горизонтальной оси будем откладывать значения \(x\), а по вертикальной оси будем откладывать значения \(y\):

\[
\begin{align*}
\text{ } & \\
\text{ } & \\
\text{ } & \\
\text{ } & \\
\text{ } & \\
\text{ _______________________________} & \\
\text{ |} & \\
\text{ |} & \\
\text{ |} & \\
\text{ |} & \\
\text{ |} & \\
\text{ |} & \bullet (0, 0) \\
\text{ |} & \\
\text{ |} & \\
\text{ |} & \\
\text{ |} & \\
\text{ |} & \\
\end{align*}
\]

Построим точку \((0, 0)\) на графике, которая является значением функции \(f(x)\) при \(x = 0\).

Теперь построим ломаную линию, проходящую через все найденные точки для других значений \(x\). Получим следующий вид графика:

\[
\begin{align*}
\text{ } & \\
\text{ } & \\
\text{ } & \\
\text{ } & \\
\text{ } & \\
\text{ ________________} & \\
\text{ | } & \\
\text{ | } & \\
\text{ | } & \\
\text{ | } & \\
\text{ | } & \\
\text{ | } & \bullet (0, 0) \\
\text{ | } & \\
\text{ | } & \\
\text{ |} & \\
\text{ |} & \\
\text{ |} & \\
\end{align*}
\]

Таким образом, график функции \(f(x) = x^3\) будет выглядеть как ломаная линия, проходящая через точку \((0, 0)\) и увеличивающаяся симметрично относительно вертикальной оси. В данном графике функция непрерывна в точке \(x_0 = 0\), так как график не имеет разрывов и значений, отличных от предела функции при \(x \to 0\).