1. Решите следующие уравнения: a) Найдите значения переменной в уравнении 7x² - 9x + 2 = 0. b) Решите уравнение

1. Решение уравнений:
a) Для решения уравнения 7x² - 9x + 2 = 0, мы будем использовать формулу дискриминанта и формулу квадратного корня. Формула дискриминанта \(D\) для уравнения вида \(ax^2 + bx + c = 0\) выглядит следующим образом: \(D = b^2 - 4ac\).

В нашем случае у нас есть уравнение \(7x^2 - 9x + 2 = 0\), где \(a = 7\), \(b = -9\) и \(c = 2\). Подставим знчения в формулу дискриминанта: \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2\). Рассчитаем:

\[D = 81 - 56\]
\[D = 25\]

Далее, формула квадратного корня гласит, что корни уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) можно найти с помощью формулы:

\[x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}\]

В нашем случае, подставим значения \(a = 7\), \(b = -9\) и \(D = 25\) в формулу квадратного корня:

\[x = \frac{{-(-9) \pm \sqrt{25}}}{{2 \cdot 7}}\]
\[x = \frac{{9 \pm 5}}{{14}}\]

Таким образом, мы получаем два корня: \(x_1 = \frac{{9 + 5}}{{14}}\) и \(x_2 = \frac{{9 - 5}}{{14}}\). Произведем вычисления:

\[x_1 = \frac{{14}}{{14}} = 1\]
\[x_2 = \frac{{4}}{{14}} = \frac{{2}}{{7}}\]

Ответ: \(x_1 = 1\) и \(x_2 = \frac{{2}}{{7}}\).

b) Уравнение 7x² - 28 = 0 является квадратным уравнением, где \(a = 7\), \(b = 0\) и \(c = -28\). Мы можем сразу же применить формулу для таких уравнений:

\[x = \pm \sqrt{\frac{{-c}}{{a}}}\]

В нашем случае, подставим значения:

\[x = \pm \sqrt{\frac{{-(-28)}}{{7}}}\]
\[x = \pm \sqrt{4}\]
\[x = \pm 2\]

Ответ: \(x_1 = 2\) и \(x_2 = -2\).

c) Уравнение 5x² + 12x = 0 также является квадратным уравнением, где \(a = 5\), \(b = 12\) и \(c = 0\). Применим формулу для такого типа уравнений:

\[x = 0\]
\[x = \frac{{-b}}{{a}}\]

Подставим значения:

\[x = 0\]
\[x = \frac{{-12}}{{5}}\]

Ответ: \(x_1 = 0\) и \(x_2 = \frac{{-12}}{{5}}\).

d) В уравнении x² + 20x + 91 = 0, коэффициенты: \(a = 1\), \(b = 20\) и \(c = 91\). Мы будем использовать формулу дискриминанта и формулу квадратного корня, которые были уже описаны выше.

Рассчитаем дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac\]
\[D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot 91\]
\[D = 400 - 364\]
\[D = 36\]

Так как дискриминант \(D\) равен положительному числу, у уравнения есть два действительных корня.

Применим формулу квадратного корня для нахождения корней:

\[x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}\]
\[x = \frac{{-20 \pm \sqrt{36}}}{{2 \cdot 1}}\]
\[x = \frac{{-20 \pm 6}}{{2}}\]

Выполним вычисления:

\[x_1 = \frac{{-20 + 6}}{{2}} = \frac{{-14}}{{2}} = -7\]
\[x_2 = \frac{{-20 - 6}}{{2}} = \frac{{-26}}{{2}} = -13\]

Ответ: \(x_1 = -7\) и \(x_2 = -13\).

2. Длины сторон прямоугольника:

По условию, периметр прямоугольника равен 26 см, а площадь равна 36 см². Обозначим длину стороны прямоугольника \(x\) и ширину \(y\).

Периметр прямоугольника определяется по формуле:

\[P = 2x + 2y\]

Из условия задачи, мы знаем, что периметр равен 26 см, поэтому:

\[26 = 2x + 2y\]

Также, площадь прямоугольника определяется по формуле:

\[S = xy\]

Из условия задачи, мы знаем, что площадь равна 36 см²:

\[36 = xy\]

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными \(x\) и \(y\). Решим эту систему методом подстановки.

Из первого уравнения выразим \(y\) через \(x\):

\[26 = 2x + 2y \Rightarrow y = \frac{{26 - 2x}}{2} = 13 - x\]

Подставим это значение \(y\) во второе уравнение:

\[36 = x(13 - x)\]

Раскроем скобки:

\[36 = 13x - x^2\]

Получившееся уравнение является квадратным, которое можно привести к стандартной форме:

\[x^2 - 13x + 36 = 0\]

Найдем корни этого квадратного уравнения, используя формулу дискриминанта и формулу квадратного корня, как описано в первой задаче.

Рассчитаем дискриминант:

\[D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\]

Так как дискриминант равен положительному числу, у уравнения есть два действительных корня.

Применяем формулу квадратного корня для нахождения корней:

\[x = \frac{{-(-13) \pm \sqrt{25}}}{{2 \cdot 1}} = \frac{{13 \pm 5}}{2}\]

Получаем два корня: \(x_1 = 9\) и \(x_2 = 4\).

Теперь найдем соответствующие значения \(y\) для каждого значения \(x\), используя уравнение \(y = 13 - x\):

Для \(x = 9\): \(y = 13 - 9 = 4\)

Для \(x = 4\): \(y = 13 - 4 = 9\)

Ответ: Длины сторон прямоугольника равны 9 см и 4 см.

3. Другой корень и коэффициенты уравнения:

У нас есть уравнение \(x^2 + px + 56 = 0\), и мы знаем, что один из корней равен -4.

Квадратные уравнения имеют следующую особенность: сумма корней равна отрицательному коэффициенту при \(x\) (с учетом знака). То есть, если корень равен -4, тогда другой корень будет равен сумме -4 и -4 получается -8.

Таким образом, получаем \(x_1 = -4\) и \(x_2 = -8\).

Далее, согласно формуле квадратного уравнения, сумма корней (\(x_1 + x_2\)) равна \(\frac{{-p}}{{1}}\).

Мы знаем, что \(x_1 = -4\) и \(x_2 = -8\), поэтому мы можем записать:

\(-4 + (-8) = \frac{{-p}}{{1}}\)

\(-12 = -p\)

Таким образом, коэффициент \(p\) равен 12.

Ответ: Другой корень равен -8, а коэффициент \(p\) равен 12.