Найдите значение n, если известно, что корни уравнения х^2-5х+n=0 равны х1 и х2, а √х1 + √х2 = 3. Решите уравнение

Давайте решим данную задачу шаг за шагом.

У нас есть квадратное уравнение: \(x^2 - 5x + n = 0\), и нам известно, что его корни равны \(x_1\) и \(x_2\).

1. Для начала, вспомним формулу дискриминанта \(D\) для квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\):
\[D = b^2 - 4ac\]
В нашем случае \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = n\), поэтому:
\[D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot n = 25 - 4n\]

2. Мы знаем, что корни уравнения равны \(x_1\) и \(x_2\), поэтому:
\[x_1 + x_2 = 5\] (коэффициент при \(x\) с обратным знаком)
А также, по формуле Виета, мы знаем, что произведение корней равно коэффициенту при \(x^2\) с обратным знаком:
\[x_1 \cdot x_2 = n\]

3. Далее, мы имеем следующее условие: \(\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} = 3\).
Мы можем возвести оба выражения в квадрат, чтобы избавиться от корней:
\[(\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2})^2 = 3^2\]
\[x_1 + 2\sqrt{x_1}\sqrt{x_2} + x_2 = 9\]
Заметим, что \(2\sqrt{x_1}\sqrt{x_2}\) - это просто \(2 \cdot \sqrt{(x_1 \cdot x_2)}\), а по формуле Виета \(x_1 \cdot x_2 = n\), поэтому:
\[x_1 + 2\sqrt{n} + x_2 = 9\]
Но мы уже знаем, что \(x_1 + x_2 = 5\), поэтому:
\[5 + 2\sqrt{n} = 9\]
Вычитая 5 из обеих частей уравнения получим:
\[2\sqrt{n} = 4\]

4. Теперь, возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
\[(2\sqrt{n})^2 = 4^2\]
\[4n = 16\]
Получаем значение переменной \(n\):
\[n = \frac{16}{4} = 4\]

Таким образом, значение переменной \(n\) равно 4.