Найдите уравнение прямой, если при симметрии относительно прямой р точка А(-1;5) отображается на точку А1(3;1

Для решения данной задачи воспользуемся свойством симметрии относительно прямой.

Когда точка \(A(-1;5)\) отображается на точку \(A_1(3;1)\) при симметрии относительно прямой \(r\), то средняя точка отрезка, соединяющего исходную точку и итоговую точку, будет лежать на этой прямой \(r\).

Посчитаем среднюю точку отрезка \([A, A_1]\) с координатами \((-1, 5)\) и \((3, 1)\). Для этого найдем средние значения координат точек:

\[ x = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]
\[ y = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

Таким образом, получаем координаты средней точки \((1, 3)\), которая должна лежать на прямой \(r\).

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через эту точку, нам нужно знать уравнение прямой в одной из следующих форм: общего или канонического.

Однако у нас есть дополнительная информация о том, что прямая \(r\) является осью симметрии, а значит ее уравнение должно иметь определенный вид. Поскольку симметрия относительно прямой сохраняет расстояния до нее, то уравнение этой прямой, проходящей через точку \((1, 3)\), можно записать в виде:

\[ x = 1 \]

Таким образом, уравнение прямой \(r\) равно \(x = 1\).

Вот и все! У нас получилось найти уравнение прямой \(r\), если при симметрии относительно нее точка \(A(-1;5)\) отображается на точку \(A_1(3;1)\).