Найдите трапецию ABCD, где ABCD - прямоугольная трапеция с основаниями AD и ВС, а диагональ АС является биссектрисой

Чтобы решить эту задачу, нам потребуется использовать свойства прямоугольных трапеций. Давайте посмотрим на заданную трапецию ABCD:

\[
\begin{{array}}{{cccc}}
& A & & B \\
D & & C \\
\end{{array}}
\]

Мы знаем, что диагональ AC является биссектрисой угла A, который равен 45°. Это означает, что угол DAC равен углу BAC, а угол CAB равен углу DAB.

Теперь давайте обозначим стороны трапеции. Пусть AB будет основание трапеции, а CD будет вторым основанием. Обозначим точку пересечения диагоналей как O.

Так как ABCD - прямоугольная трапеция, то AD и BC - перпендикулярные основания. Также, так как трапеция прямоугольная, то у нее есть пара равных прямых углов - углы в точках D и C.

Мы хотим найти значения оснований AD и BC, а также диагонали AC и BD. Для этого мы можем воспользоваться теоремой Пифагора и свойствами биссектрисы.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике DAC:

\[
AD^2 + DC^2 = AC^2
\]

Поскольку диагональ AC является биссектрисой угла A, то в треугольнике DAC у нас также имеем:

\[
\frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{DC}}{{BC}}
\]

Теперь, используя свойства биссектрисы, мы можем найти отношение значений сторон AD и BC:

\[
\frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{DC}}{{BC}} \implies \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{DC}}
\]

Таким образом, мы получаем систему уравнений:

\[
\begin{{align*}}
AD^2 + DC^2 &= AC^2 \\
\frac{{AC}}{{BC}} &= \frac{{AD}}{{DC}}
\end{{align*}}
\]

Теперь давайте подставим второе уравнение в первое и решим систему для нахождения значений AD и DC.

\[
AD^2 + \left(\frac{{AD}}{{\frac{{AD}}{{DC}}}}\right)^2 = AD^2 + \frac{{AD^2}}{{\left(\frac{{AD}}{{DC}}\right)^2}} = AD^2 + \frac{{AD^2}}{{\left(\frac{{DC}}{{AD}}\right)^2}} = AC^2
\]

Далее, чтобы упростить уравнение, возведем обе части в квадрат и приведем подобные слагаемые:

\[
AD^2 + AD^2 \cdot \frac{{AD^2}}{{DC^2}} = AD^2 \left(1 + \frac{{AD^2}}{{DC^2}}\right) = AC^2
\]

Теперь возьмем начальное уравнение AD^2 + DC^2 = AC^2 и выразим AC^2:

\[
AC^2 = AD^2 \left(1 + \frac{{AD^2}}{{DC^2}}\right)
\]

Мы также знаем, что объем трапеции равен 9 корням, то есть:

\[
AC \cdot \frac{{AD + DC}}{2} = 9
\]

Теперь у нас есть два уравнения, которые мы можем решить для нахождения значений AD и DC.