Найдите решение данного уравнения: √3sinx-cosx=2cos7x

Хорошо, давайте решим данное уравнение шаг за шагом.

1. Начнем с упрощения уравнения. Заметим, что у нас есть три функции: \(\sqrt{3}\sin{x}\), \(\cos{x}\) и \(\cos{7x}\). Попробуем переписать уравнение, чтобы оно содержало функции с одинаковыми аргументами.

2. Мы знаем, что \(\cos{7x}\) можно переписать как \(\cos{(6x + x)}\). Далее, мы можем использовать формулу суммы косинусов, чтобы разложить \(\cos{(6x + x)}\):
\[\cos{(6x + x)} = \cos{6x}\cos{x} - \sin{6x}\sin{x}\]

3. Теперь, давайте заменим \(\cos(7x)\) в исходном уравнении на разложение из пункта 2, и получим:
\(\sqrt{3}\sin{x} - \cos{x} = 2(\cos{6x}\cos{x} - \sin{6x}\sin{x})\)

4. Раскроем скобки:
\(\sqrt{3}\sin{x} - \cos{x} = 2\cos{6x}\cos{x} - 2\sin{6x}\sin{x}\)

5. Теперь перегруппируем слагаемые. Получим:
\(\sqrt{3}\sin{x} + 2\sin{6x}\sin{x} = 2\cos{6x}\cos{x} + \cos{x}\)

6. Мы видим, что наше уравнение содержит функции с одинаковыми аргументами: \(\sin{x}\) и \(\cos{x}\). Давайте перепишем его для большей ясности:
\(\sqrt{3}\sin{x} + 2\sin{6x}\sin{x} = \cos{x} + 2\cos{6x}\cos{x}\)

7. Теперь мы можем воспользоваться формулой суммы синусов и разности косинусов, чтобы преобразовать эту частично одинаковую сумму:
\(\sqrt{3}\sin{x} + \sin{7x} = \cos{x} + \cos{5x}\)

8. Воспользуемся известным тождеством: \(\sin{a} + \sin{b} = 2\sin{\left(\frac{a + b}{2}\right)}\cos{\left(\frac{a - b}{2}\right)}\). Применим его к нашему уравнению:
\(\sqrt{3}\sin{x} + \sin{7x} = 2\sin{\left(4x + \frac{x}{2}\right)}\cos{\left(4x - \frac{x}{2}\right)}\)

9. Упростим полученное выражение:
\(\sqrt{3}\sin{x} + \sin{7x} = 2\sin{\left(\frac{9x}{2}\right)}\cos{\left(\frac{7x}{2}\right)}\)

10. Теперь, чтобы решить это уравнение, заметим, что слева от знака равенства у нас есть сумма двух синусов, а справа - произведение двух функций. Для равенства синусов и косинусов необходимо и достаточно, чтобы аргументы функций были равны. Поэтому у нас получается система уравнений:
\[\sqrt{3} = 2\sin{\left(\frac{9x}{2}\right)}\]
\[\sin{7x} = \cos{\left(\frac{7x}{2}\right)}\]

11. Перепишем первое уравнение, чтобы избавиться от множителя 2:
\[\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin{\left(\frac{9x}{2}\right)}\]

12. Теперь, чтобы решить это уравнение, заметим, что \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) - это значение синуса для некоторого угла. Поэтому у нас получается:
\[\frac{9x}{2} = \frac{\pi}{3} + 2n\pi\]
где \(n\) - целое число.

13. Решим это уравнение относительно \(x\):
\[9x = \frac{2}{3}\pi + 4n\pi\]
\[x = \frac{2}{27}\pi + \frac{4}{9}n\pi\]
где \(n\) - целое число.

14. Теперь перейдем ко второму уравнению:
\[\sin{7x} = \cos{\left(\frac{7x}{2}\right)}\]

15. Мы знаем, что \(\sin{x} = \cos{\left(\frac{\pi}{2} - x\right)}\). Применим это тождество:
\[\sin{7x} = \cos{\left(\frac{\pi}{2} - \frac{7x}{2}\right)}\]

16. Подставим \(y = \frac{7x}{2}\):
\[\sin{y} = \cos{\left(\frac{\pi}{2} - y\right)}\]

17. Рассмотрим два случая:

- При \(y = 0\), получим \(\sin{0} = \cos{\frac{\pi}{2}}\), что неверно.

- При \(\frac{\pi}{2} - y = 0\), получим \(\sin{\frac{\pi}{2}} = \cos{0}\), что верно.

18. Таким образом, имеем \(\frac{\pi}{2} - y = 2k\pi\), где \(k\) - целое число.

19. Решим это уравнение относительно \(y\):
\[\frac{\pi}{2} - \frac{7x}{2} = 2k\pi\]
\[\frac{7x}{2} = \frac{\pi}{2} - 2k\pi\]
\[x = \frac{\pi}{7} - \frac{4}{7}k\pi\]
где \(k\) - целое число.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются:
\[x = \frac{2}{27}\pi + \frac{4}{9}n\pi\]
\[x = \frac{\pi}{7} - \frac{4}{7}k\pi\]
где \(n\) и \(k\) - целые числа.