Найдите площадь той части квадрата, которая находится вне окружности, вписанной в квадрат и в которую вписан правильный

Хорошо! Давайте решим задачу.

Итак, у нас есть квадрат, внутри которого вписана окружность. Внутри этого квадрата располагается правильный треугольник со стороной \(3\sqrt{3}\) см. Нам нужно найти площадь той части квадрата, которая находится вне вписанной окружности, и выразить этот ответ в виде числа \(m = S_{\text{части}} + \pi\), без единиц измерения.

Давайте представим задачу графически, чтобы лучше понять, что происходит.


Посмотрите на изображение выше. Квадрат, в который вписан треугольник, имеет сторону, равную диаметру вписанной окружности. Пусть сторона квадрата равна \(x\) см.

Теперь посмотрим на треугольник. У нас есть правильный треугольник со стороной \(3\sqrt{3}\) см. Для правильного треугольника известно, что его высота равна половине биссектрисы, или половине радиуса вписанной вокруг него окружности. Поэтому радиус вписанной окружности равен половине высоты треугольника.

Давайте найдем высоту треугольника, используя равнобедренный треугольник, образованный биссектрисой и перпендикуляром к основанию.


Из рисунка видно, что полуоснование равно \(\frac{x}{2}\), а второе полуоснование равно \(\frac{\sqrt{3}x}{2}\). По теореме Пифагора, длина биссектрисы равна:

\[
\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}x}{2}\right)^2 - \left(\frac{x}{2}\right)^2} = \sqrt{3}x
\]

Таким образом, радиус вписанной окружности равен \(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3}x = \frac{\sqrt{3}}{2}x\).

Площадь круга можно выразить как \(\pi R^2\), где \(R\) - радиус. В нашем случае, площадь вписанной окружности будет равна:

\[
S_{\text{окр}} = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)^2
\]

Теперь давайте найдем площадь квадрата. Как мы уже упоминали, сторона квадрата равна диаметру вписанной окружности, то есть \(x\). Площадь квадрата равна:

\[
S_{\text{кв}} = x^2
\]

Чтобы найти площадь той части квадрата, которая находится вне окружности, мы вычтем площадь окружности из площади квадрата:

\[
S_{\text{части}} = S_{\text{кв}} - S_{\text{окр}} = x^2 - \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)^2
\]

Наконец, чтобы выразить ответ в виде числа \(m = S_{\text{части}} + \pi\), без единиц измерения, мы добавим к \(S_{\text{части}}\) число \(\pi\):

\[
m = S_{\text{части}} + \pi = x^2 - \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)^2 + \pi
\]

Итак, получаем окончательный ответ:

\[
m = x^2 - \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)^2 + \pi
\]

Готово! Теперь мы имеем выражение для площади части квадрата, находящейся вне окружности, в которую вписан правильный треугольник со стороной \(3\sqrt{3}\) см. Это выражение указано в задаче и необходимо только заменить значение \(x\) на известное вам значение стороны квадрата.