Каковы значения периметра и площади ромба, если угол ∢ MNK составляет 60°, длина OK равна 5 м, а радиус вписанной

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о свойствах ромба и вписанной окружности.

1. Начнем с определения ромба: это четырехугольник, у которого все стороны равны. Также все углы ромба равны между собой. В нашем случае, угол ∢ MNK составляет 60°, поэтому все оставшиеся углы ромба тоже будут равны 60°.

2. Второе свойство, которое понадобится нам, это свойство вписанной окружности. Вписанная окружность - это окружность, которая касается всех сторон ромба. Заметим, что центр окружности находится в пересечении диагоналей ромба. Помните, что для ромба диагонали являются пересекающимися в прямой угол диагоналями.

3. Мы знаем, что длина OK равна 5 метров, а радиус вписанной окружности равен 4,33. Используя связь между стороной ромба, радиусом вписанной окружности и углом, мы можем рассчитать длину стороны ромба. Формула для этого:

\[ a = 2r \sin(\frac{180°}{\text{∢ MNK}}) \]

где \( a \) - сторона ромба, \( r \) - радиус вписанной окружности и \( \text{∢ MNK} \) - угол в градусах.

Вычисляя по формуле, мы получаем:

\[ a = 2 \times 4,33 \times \sin(\frac{180°}{60°}) \]

\[ a = 8,66 \times \sin(3) \]

\[ a \approx 8,66 \times 0.866 \]

\[ a \approx 7.50 \; (до десятых) \]

Теперь у нас есть длина стороны ромба, и мы можем рассчитать периметр и площадь.

4. Периметр ромба - это сумма всех его сторон. В нашем случае, так как все стороны ромба равны, мы можем использовать следующую формулу:

\[ P = 4a \]

где \( P \) - периметр ромба, \( a \) - сторона ромба.

Вычисляя, мы получаем:

\[ P = 4 \times 7.50 \]

\[ P = 30 \; м \]

Таким образом, периметр ромба равен 30 метрам.

5. Площадь ромба можно рассчитать по формуле:

\[ S = \frac{d_1 \times d_2}{2} \]

где \( S \) - площадь ромба, \( d_1 \) и \( d_2 \) - диагонали ромба.

Мы знаем, что диагонали ромба перпендикулярны друг другу и проходят через центр. Заметим, что диагонали образуют два равных треугольника, и каждая из них является прямоугольным треугольником с углом 90° и катетами \(r\) и \(a/2\).

Используя теорему Пифагора для одного из треугольников, мы можем записать следующие уравнения:

\[ r^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + d_2^2 \]
\[ r^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + d_1^2 \]

Решая эти уравнения, мы получаем:

\[ d_1 = d_2 = \sqrt{r^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} \]

Подставляя значения, мы получаем:

\[ d_1 = d_2 \approx \sqrt{4.33^2 - \left(\frac{7.50}{2}\right)^2} \]

\[ d_1 = d_2 \approx \sqrt{18.7489 - 14.0625} \]

\[ d_1 = d_2 \approx \sqrt{4.6864} \]

\[ d_1 = d_2 \approx 2.1675 \; (до десятых) \]

Теперь, используя формулу для площади, мы можем рассчитать площадь ромба:

\[ S = \frac{2.1675 \times 2.1675}{2} \]

\[ S = \frac{4.6946}{2} \]

\[ S \approx 2.35 \; (до сотых) \]

Таким образом, площадь ромба составляет примерно 2.35 квадратных метра.