Каковы значения периметра и площади ромба, если угол ∢ MNK составляет 60°, длина OK равна 5 м, а радиус вписанной

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о свойствах ромба и вписанной окружности.

1. Начнем с определения ромба: это четырехугольник, у которого все стороны равны. Также все углы ромба равны между собой. В нашем случае, угол ∢ MNK составляет 60°, поэтому все оставшиеся углы ромба тоже будут равны 60°.

2. Второе свойство, которое понадобится нам, это свойство вписанной окружности. Вписанная окружность - это окружность, которая касается всех сторон ромба. Заметим, что центр окружности находится в пересечении диагоналей ромба. Помните, что для ромба диагонали являются пересекающимися в прямой угол диагоналями.

3. Мы знаем, что длина OK равна 5 метров, а радиус вписанной окружности равен 4,33. Используя связь между стороной ромба, радиусом вписанной окружности и углом, мы можем рассчитать длину стороны ромба. Формула для этого:

$$a=2r\sin (\frac{180°}{\text{∢ MNK}})$$

где $a$ - сторона ромба, $r$ - радиус вписанной окружности и $\text{∢ MNK}$ - угол в градусах.

Вычисляя по формуле, мы получаем:

$$a=2\times 4,33\times \sin (\frac{180°}{60°})$$

$$a=8,66\times \sin (3)$$

$$a\approx 8,66\times 0.866$$

$$a\approx 7.50(додесятых)$$

Теперь у нас есть длина стороны ромба, и мы можем рассчитать периметр и площадь.

4. Периметр ромба - это сумма всех его сторон. В нашем случае, так как все стороны ромба равны, мы можем использовать следующую формулу:

$$P=4a$$

где $P$ - периметр ромба, $a$ - сторона ромба.

Вычисляя, мы получаем:

$$P=4\times 7.50$$

$$P=30м$$

Таким образом, периметр ромба равен 30 метрам.

5. Площадь ромба можно рассчитать по формуле:

$$S=\frac{d_1\times d_2}{2}$$

где $S$ - площадь ромба, $d_1$ и $d_2$ - диагонали ромба.

Мы знаем, что диагонали ромба перпендикулярны друг другу и проходят через центр. Заметим, что диагонали образуют два равных треугольника, и каждая из них является прямоугольным треугольником с углом 90° и катетами $r$ и $a/2$.

Используя теорему Пифагора для одного из треугольников, мы можем записать следующие уравнения:

$$r^2={\left(\frac{a}{2}\right)}^2+d_2^2$$
$$r^2={\left(\frac{a}{2}\right)}^2+d_1^2$$

Решая эти уравнения, мы получаем:

$$d_1=d_2=\sqrt{r^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}$$

Подставляя значения, мы получаем:

$$d_1=d_2\approx \sqrt{{4.33}^2-{\left(\frac{7.50}{2}\right)}^2}$$

$$d_1=d_2\approx \sqrt{18.7489-14.0625}$$

$$d_1=d_2\approx \sqrt{4.6864}$$

$$d_1=d_2\approx 2.1675(додесятых)$$

Теперь, используя формулу для площади, мы можем рассчитать площадь ромба:

$$S=\frac{2.1675\times 2.1675}{2}$$

$$S=\frac{4.6946}{2}$$

$$S\approx 2.35(досотых)$$

Таким образом, площадь ромба составляет примерно 2.35 квадратных метра.