Найдите первообразную функции f(x) = 4x^3 + 10x - 9, которая проходит через точку M

Для нахождения первообразной функции функции \(f(x) = 4x^3 + 10x - 9\), мы можем использовать метод последовательного интегрирования. Используя свойство линейности интеграла, мы можем разбить исходную функцию на сумму интегралов нескольких слагаемых.

Чтобы найти первообразную от \(4x^3\), мы применяем правило интегрирования для степенной функции, которое гласит, что интеграл от \(x^n\) равен \(\frac{{x^{n+1}}}{{n+1}}\). Применяя это правило, получаем:
\[
\int 4x^3 dx = \frac{4}{4}x^4 + C_1 = x^4 + C_1
\]

Для слагаемого \(10x\) находим первообразную, применяя правило линейности интеграла:
\[
\int 10x dx = 10 \int x dx = 10 \cdot \frac{1}{2}x^2 = 5x^2 + C_2
\]

Наконец, для слагаемого \(-9\) применяем правило интегрирования константы:
\[
\int -9 dx = -9x + C_3
\]

Собирая все слагаемые вместе, получаем первообразную функции \(f(x)\):
\[
\int f(x) dx = \int (4x^3 + 10x - 9) dx = \int 4x^3 dx + \int 10x dx - \int 9 dx = x^4 + 5x^2 - 9x + C
\]

где \(C\) - произвольная постоянная. Чтобы найти значение постоянной, используем условие, что функция проходит через точку \(M\). Если точка \(M\) имеет координаты \((x_M, y_M)\), то уравнение для нахождения постоянной будет выглядеть следующим образом:
\[y_M = x_M^4 + 5x_M^2 - 9x_M + C\]

Подставив известные значения координат точки \(M\), мы сможем найти значение постоянной \(C\).