1. What is the 22nd term of the arithmetic progression (an) with a1 = 5.8 and d = -1.5? 2. Find the sum of the first

Давайте начнем с каждой задачи по отдельности, чтобы максимально понятно и обстоятельно объяснить каждое решение.

1. Чтобы найти 22-й член арифметической прогрессии с первым членом \(a_1 = 5.8\) и разностью \(d = -1.5\), мы можем использовать формулу общего члена арифметической прогрессии: \(a_n = a_1 + (n-1)d\).

Таким образом, мы можем подставить значения \(a_1 = 5.8\), \(d = -1.5\) и \(n = 22\) в эту формулу:

\[a_{22} = 5.8 + (22-1)(-1.5)\]

Выполняя вычисления, получаем:

\[a_{22} = 5.8 + 21(-1.5) = 5.8 - 31.5 = -25.7\]

Таким образом, 22-й член данной арифметической прогрессии равен -25.7.

2. Чтобы найти сумму первых 9 членов арифметической прогрессии \(b_n\), представленной последовательностью чисел: 6.4, 7.2, 8, ..., мы можем использовать формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\).

В данном случае, \(a_1 = 6.4\) (первый член) и \(a_9 = 8\) (девятый член). Таким образом, мы можем подставить значения в формулу:

\[S_9 = \frac{9}{2}(6.4 + 8)\]

Выполняя вычисления, получаем:

\[S_9 = \frac{9}{2}(14.4) = 64.8\]

Таким образом, сумма первых 9 членов данной арифметической прогрессии равна 64.8.

3. Чтобы найти сумму первых 12 членов последовательности \(a_n\), заданной формулой \(a_n = 2 - 8n\), мы также можем использовать формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии.

В данном случае, \(a_1 = 2\) (первый член) и \(a_{12} = 2 - 8 \cdot 12 = -94\) (двенадцатый член). Подставив значения в формулу, получаем:

\[S_{12} = \frac{12}{2}(2 + (-94))\]

Выполняя вычисления, получаем:

\[S_{12} = 6(-92) = -552\]

Таким образом, сумма первых 12 членов данной последовательности равна -552.

4. Чтобы определить, является ли число 181 членом арифметической прогрессии, заданной значениями \(a_1 = 1\) и \(a_6 = 16\), мы можем использовать формулу общего члена арифметической прогрессии и проверить, совпадает ли найденное значение с данным числом.

Общий член арифметической прогрессии \(a_n = a_1 + (n-1)d\). В данном случае, мы знаем, что \(a_1 = 1\) и \(a_6 = 16\). Таким образом, мы можем подставить эти значения в формулу:

\[a_6 = 1 + (6-1)d\]

\[16 = 1 + 5d\]

Решая это уравнение относительно \(d\), получаем:

\[5d = 15\]

\[d = 3\]

Теперь мы можем использовать найденное значение \(d\) в формуле общего члена арифметической прогрессии:

\[a_n = 1 + (n-1)3\]

Теперь, чтобы проверить, является ли число 181 членом данной арифметической прогрессии, мы можем подставить это число в формулу и найти соответствующий индекс \(n\):

\[181 = 1 + (n-1)3\]

\[180 = 3n - 3\]

\[3n = 183\]

\[n = 61\]

Таким образом, число 181 не является членом данной арифметической прогрессии, так как не подходит ни к одному индексу \(n\) в данной последовательности.

5. Чтобы найти сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превышающих заданное число \(N\), мы можем воспользоваться формулой суммы арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\]

В данном случае, нам нужно найти сумму чисел, кратных 4, поэтому разность \(d = 4\) (4 - это шаг между каждым числом). Первым членом \(a_1\) будет число 4, так как оно является первым числом, кратным 4. Чтобы найти последний член \(a_n\), мы можем взять наибольшее число, кратное 4, но не превышающее \(N\). По формуле \(a_n = a_1 + (n-1)d\) мы можем найти значение \(n\), которое удовлетворяет условию \(a_n \leq N\).

Теперь, чтобы найти сумму всех чисел, мы можем использовать формулу суммы арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\]

Подставляя значения, получаем:

\[S_n = \frac{n}{2}(4 + a_n)\]

Таким образом, вы можете использовать данную формулу для нахождения суммы всех натуральных чисел, кратных 4, и не превышающих заданное значение \(N\).