What is the simplified form of the expression tg30 + tg40 + tg50 + tg60?

Хорошо, давайте решим эту задачу. Для начала давайте вспомним, что такое тангенс угла. Тангенс угла - это отношение противоположной стороны (в нашем случае это высота треугольника) к прилежащей стороне (в нашем случае это основание треугольника).

Теперь посмотрим на данное выражение: tg30 + tg40 + tg50 + tg60. Все углы в данном выражении являются кратными 10 градусам и находятся в первом квадранте, поэтому все значения тангенсов будут положительными.

Давайте приступим к решению пошагово:

1. Найдем значение тангенса для каждого угла:
tg30 = \( \frac{{\sin30}}{{\cos30}} \)
tg40 = \( \frac{{\sin40}}{{\cos40}} \)
tg50 = \( \frac{{\sin50}}{{\cos50}} \)
tg60 = \( \frac{{\sin60}}{{\cos60}} \)

2. Вычислим значения синусов и косинусов по формулам:

\(\sin30 = \frac{1}{2}\)
\(\cos30 = \frac{{\sqrt{3}}}{2}\)

\(\sin40 = \frac{{\sqrt{3} + 1}}{{4}}\)
\(\cos40 = \frac{{\sqrt{3} - 1}}{{4}}\)

\(\sin50 = \frac{{\sqrt{3} + \sqrt{5}}}{{4}}\)
\(\cos50 = \frac{{\sqrt{3} - \sqrt{5}}}{{4}}\)

\(\sin60 = \frac{{\sqrt{3}}}{2}\)
\(\cos60 = \frac{1}{2}\)

3. Подставим значения синусов и косинусов в соответствующие формулы для тангенсов:

tg30 = \( \frac{{\frac{1}{2}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}} \)
tg40 = \( \frac{{\frac{{\sqrt{3} + 1}}{{4}}}}{{\frac{{\sqrt{3} - 1}}{{4}}}} \)
tg50 = \( \frac{{\frac{{\sqrt{3} + \sqrt{5}}}{{4}}}}{{\frac{{\sqrt{3} - \sqrt{5}}}{{4}}}} \)
tg60 = \( \frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{\frac{1}{2}}} \)

4. Упростим выражения:

tg30 = \( \frac{1}{{\sqrt{3}}} \)
tg40 = \( \frac{{\sqrt{3} + 1}}{{\sqrt{3} - 1}} \)
tg50 = \( \frac{{\sqrt{3} + \sqrt{5}}}{{\sqrt{3} - \sqrt{5}}} \)
tg60 = \( \sqrt{3} \)

5. Сложим все значения тангенсов:

tg30 + tg40 + tg50 + tg60 = \( \frac{1}{{\sqrt{3}}} + \frac{{\sqrt{3} + 1}}{{\sqrt{3} - 1}} + \frac{{\sqrt{3} + \sqrt{5}}}{{\sqrt{3} - \sqrt{5}}} + \sqrt{3} \)

6. Приведем дроби к общему знаменателю:

tg30 + tg40 + tg50 + tg60 = \( \frac{{(\sqrt{3} - 1) + (\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} + 1)}}{{\sqrt{3} - 1}} + \frac{{(\sqrt{3} - \sqrt{5})(\sqrt{3} - \sqrt{5}) + (\sqrt{3} + \sqrt{5})(\sqrt{3} - \sqrt{5})}}{{\sqrt{3} - \sqrt{5}}} + \sqrt{3} \)

7. Раскроем скобки и упростим выражение:

tg30 + tg40 + tg50 + tg60 = \( \frac{{3 - 1 + 2\sqrt{3} + 3}}{{\sqrt{3} - 1}} + \frac{{3 - 2\sqrt{5} + 3 - 5}}{{\sqrt{3} - \sqrt{5}}} + \sqrt{3} \)

tg30 + tg40 + tg50 + tg60 = \( \frac{{5 + 2\sqrt{3}}}{{\sqrt{3} - 1}} + \frac{{6 - 2\sqrt{5}}}{{\sqrt{3} - \sqrt{5}}} + \sqrt{3} \)

8. Сложим дроби:

tg30 + tg40 + tg50 + tg60 = \( \frac{{(5 + 2\sqrt{3})(\sqrt{3} - \sqrt{5}) + (6 - 2\sqrt{5})(\sqrt{3} - 1)}}{{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - \sqrt{5})}} + \sqrt{3} \)

9. Раскроем скобки и упростим:

tg30 + tg40 + tg50 + tg60 = \( \frac{{-3\sqrt{5} + 5\sqrt{3} + 3 + 6\sqrt{3} - 2\sqrt{5} - 2\sqrt{3} + 6\sqrt{5} - \sqrt{3} + \sqrt{5}}}{{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - \sqrt{5})}} + \sqrt{3} \)

tg30 + tg40 + tg50 + tg60 = \( \frac{{8\sqrt{5} + 9\sqrt{3}}}{{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - \sqrt{5})}} + \sqrt{3} \)

10. Рационализуем знаменатель:

tg30 + tg40 + tg50 + tg60 = \( \frac{{(8\sqrt{5} + 9\sqrt{3})(\sqrt{3} + \sqrt{5})}}{{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - \sqrt{5})(\sqrt{3} + \sqrt{5})}} + \sqrt{3} \)

tg30 + tg40 + tg50 + tg60 = \( \frac{{8\sqrt{15} + 28 + 9\sqrt{15} + 15}}{{(\sqrt{3} - 1)(3 - 5)}} + \sqrt{3} \)

tg30 + tg40 + tg50 + tg60 = \( \frac{{17\sqrt{15} + 43}}{{-2}} + \sqrt{3} \)

11. Упростим выражение:

tg30 + tg40 + tg50 + tg60 = \( \frac{{-17\sqrt{15} - 43}}{2} + \sqrt{3} \)

Таким образом, упрощенная форма выражения tg30 + tg40 + tg50 + tg60 равна \( \frac{{-17\sqrt{15} - 43}}{2} + \sqrt{3} \).