Найдите первообразную для функции f(x) = 6(x+1)^5 + 3(2x-1)^2 - 4x - cos3x, график которой проходит через точку

Чтобы найти первообразную для функции \(f(x) = 6(x+1)^5 + 3(2x-1)^2 - 4x - \cos(3x)\), нам понадобится использовать методы интегрирования по частям и замены переменной.

1. Начнем с первого слагаемого \(6(x+1)^5\). Для удобства раскроем скобку и получим:
\(6(x+1)^5 = 6(x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1)\)

2. Теперь проинтегрируем полученное выражение. Для этого используем формулу интегрирования по частям:
\(\int u \, dv = uv - \int v \, du\)
В нашем случае, возьмем \(u = x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1\) и \(dv = 6 \, dx\).

Вычислим производные:
\(du = (5x^4 + 20x^3 + 30x^2 + 20x + 5) \, dx\)
\(v = \int 6 \, dx = 6x\)

Подставим значения в формулу интегрирования по частям:
\(\int (x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1) \, dx = (x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1) \cdot 6x - \int 6x \cdot (5x^4 + 20x^3 + 30x^2 + 20x + 5) \, dx\)

3. Интегрируем второе слагаемое \(3(2x-1)^2\). Раскроем скобку и получим:
\(3(2x-1)^2 = 3(4x^2 - 4x + 1)\)

Проинтегрируем полученное выражение:
\(\int (4x^2 - 4x + 1) \, dx = \frac{4}{3}x^3 - 2x^2 + x\)

4. Интегрируем третье слагаемое \(-4x\):
\(\int -4x \, dx = -2x^2\)

5. Интегрируем последнее слагаемое \(-\cos(3x)\). Для этого проведем замену переменной. Пусть \(u = 3x\), тогда \(du = 3 \, dx\):
\(\int -\cos(3x) \, dx = \frac{-1}{3} \int \cos(u) \, du = \frac{-1}{3} \sin(u) = \frac{-1}{3} \sin(3x)\)

6. Соберем все полученные слагаемые и найдем общую первообразную функцию:
\(\int 6(x+1)^5 + 3(2x-1)^2 - 4x - \cos(3x) \, dx = (x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1) \cdot 6x - \int 6x \cdot (5x^4 + 20x^3 + 30x^2 + 20x + 5) \, dx + \frac{4}{3}x^3 - 2x^2 + x - 2x^2 - \frac{1}{3} \sin(3x) + C\)

Где \(C\) - произвольная постоянная.

Таким образом, первообразная для функции f(x) = 6(x+1)^5 + 3(2x-1)^2 - 4x - cos(3x), график которой проходит через точку M(0, y), будет:
\[ F(x) = 6x(x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1) - \int 6x \cdot (5x^4 + 20x^3 + 30x^2 + 20x + 5) \, dx + \frac{4}{3}x^3 - 4x^2 + x - \frac{1}{3} \sin(3x) + C \]