Найдите отношение площади полной поверхности цилиндра к объему, если объем цилиндра равен 64п, а площадь боковой

Для начала, давайте вспомним формулы для площади полной поверхности и объема цилиндра:

Площадь полной поверхности \(S\) цилиндра вычисляется по формуле:
\[S = 2\pi r^2 + 2\pi rh\]

Объем цилиндра \(V\) вычисляется по формуле:
\[V = \pi r^2 h\]

Здесь \(r\) - радиус основания цилиндра, \(h\) - высота цилиндра, а \(\pi\) - математическая константа, примерно равная 3.14159.

В задаче нам дано, что объем цилиндра равен 64\(\pi\) и площадь боковой поверхности \(S_b\) цилиндра неизвестна.

Давайте начнем с выражения объема через радиус и высоту:

\[V = \pi r^2 h = 64\pi\]

Теперь найдем выражение для площади боковой поверхности цилиндра:

\[S_b = 2\pi rh\]

Так как нам дано, что площадь боковой поверхности равна \(S_b\) (которая нам неизвестна), мы можем использовать это выражение для нахождения отношения площади полной поверхности к объему:

\(\frac{S}{V} = \frac{2\pi r^2 + 2\pi rh}{\pi r^2 h}\)

Теперь подставим значение объема, которое нам дано:

\(\frac{S}{64\pi} = \frac{2\pi r^2 + 2\pi rh}{\pi r^2 h}\)

Далее, чтобы упростить это выражение, давайте упростим числитель:

\(2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r(r + h)\)

Теперь подставим это в наше выражение:

\(\frac{S}{64\pi} = \frac{2\pi r(r + h)}{\pi r^2 h}\)

Далее, упростим это выражение:

\(\frac{S}{64\pi} = \frac{2(r + h)}{rh}\)

Теперь, чтобы найти отношение площади полной поверхности к объему, давайте умножим обе стороны на 64\(\pi\):

\(S = \frac{128(r + h)}{rh}\)

Таким образом, отношение площади полной поверхности цилиндра к его объему равно \(\frac{128(r + h)}{rh}\).

Обратите внимание, что это общая формула и ее можно использовать для любого цилиндра, зная значение радиуса и высоты.