Найдите косинус угла α между прямыми AN и AC в данной правильной четырёхугольной пирамиде KABCD, где AB = BC = CD

Для решения задачи, нам необходимо использовать геометрические свойства правильной четырёхугольной пирамиды.

Чтобы найти косинус угла α между прямыми AN и AC, мы можем использовать свойство косинуса угла между двумя прямыми. Формула для этого свойства выглядит следующим образом:

\[\cos(α) = \frac{{\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC}}}{{|\mathbf{AB}| \cdot |\mathbf{AC}|}}\]

Где \(\mathbf{AB}\) и \(\mathbf{AC}\) - векторы, соответствующие прямым AB и AC соответственно, и \(\cdot\) обозначает скалярное произведение векторов.

Сначала найдём векторы \(\mathbf{AB}\) и \(\mathbf{AC}\). Так как AB = BC = CD = DA = 8 ед. изм., то мы можем выбрать произвольную систему координат и задать точки A(0, 0, 0), B(8, 0, 0), C(4, 4, 0) и D(0, 8, 0). Поскольку KABCD - правильная четырёхугольная пирамида, координаты вершины K будут K(4, 4, h), где h - высота пирамиды.

Теперь можем найти векторы \(\mathbf{AB}\) и \(\mathbf{AC}\) с помощью координат вершин B, A и C:

\(\mathbf{AB} = \mathbf{B} - \mathbf{A} = (8, 0, 0) - (0, 0, 0) = (8, 0, 0)\)

\(\mathbf{AC} = \mathbf{C} - \mathbf{A} = (4, 4, 0) - (0, 0, 0) = (4, 4, 0)\)

Теперь найдём скалярное произведение векторов \(\mathbf{AB}\) и \(\mathbf{AC}\):

\(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC} = 8 \cdot 4 + 0 \cdot 4 + 0 \cdot 0 = 32\)

Теперь вычислим длины векторов \(\mathbf{AB}\) и \(\mathbf{AC}\):

\(|\mathbf{AB}| = \sqrt{8^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{64} = 8\)

\(|\mathbf{AC}| = \sqrt{4^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\)

Теперь мы можем подставить значения в формулу для косинуса угла α:

\[\cos(α) = \frac{{\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC}}}{{|\mathbf{AB}| \cdot |\mathbf{AC}|}} = \frac{{32}}{{8 \cdot 4\sqrt{2}}} = \frac{{4}}{{\sqrt{2}}} = \frac{{4\sqrt{2}}}{{2}} = 2\sqrt{2}\]

Таким образом, косинус угла α между прямыми AN и AC равен \(2\sqrt{2}\).