Найдите длину наибольшего катета прямоугольного треугольника, если его площадь составляет 135м² и он имеет катет

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать формулу для площади прямоугольного треугольника и формулу для нахождения катета треугольника.

Формула для площади прямоугольного треугольника:
\[S = \frac{{ab}}{2},\]
где \(S\) - площадь треугольника, \(a\) и \(b\) - длины катетов.

Дано, что площадь треугольника составляет 135м². Подставим эту информацию в формулу для нахождения площади:
\[135 = \frac{{ab}}{2}.\]

Теперь будем искать длину наибольшего катета. Пусть \(a\) будет длина большего катета, а \(b\) будет длина меньшего катета.

Чтобы упростить выражение, умножим обе стороны уравнения на 2:
\[270 = ab.\]

Теперь нам нужно найти наибольшее значение \(a\) при условии, что \(ab = 270\). Для этого воспользуемся неравенством между средним геометрическим и средним арифметическим:
\(\sqrt{{ab}} \leq \frac{{a+b}}{2}.\)

Возведем обе части данного неравенства в квадрат:
\(ab \leq \frac{{(a+b)^2}}{4}.\)

Подставим значение \(ab = 270\) в это неравенство:
\(270 \leq \frac{{(a+b)^2}}{4}.\)

Умножим обе стороны неравенства на 4:
\(1080 \leq (a+b)^2.\)

Извлекая квадратный корень из обеих сторон неравенства, получим:
\(\sqrt{1080} \leq a+b.\)

Округлим корень из 1080 до ближайшего целого:
\(\sqrt{1080} \approx 32.81.\)

Скомбинируем длины катетов:
\(a+b \approx 32.81.\)

Так как мы ищем максимальное значение \(a\), то положим \(b = 1\). Тогда:
\(a+1 \approx 32.81.\)

Вычтем 1 из обеих сторон уравнения, чтобы найти значение \(a\):
\(a \approx 31.81.\)

Таким образом, больший катет прямоугольного треугольника имеет длину около 31.81 метра.