Найдите длину МТ и величину угла МКТ, если дано, что угол МКТ равен 140 градусов, а отношение длин КТ и ТМ равно

Для решения данной задачи нам понадобится использовать свойства треугольников и соотношения между углами.

Дано, что угол МКТ равен 140 градусов, а отношение длин КТ и ТМ равно \(x\).

По определению, угол МКТ - это внешний угол треугольника ТКМ. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Таким образом, угол МКТ равен сумме угла МКТ и угла ТМК:
\[Угол\ МКТ = Угол\ МКТ + Угол\ ТМК\]

Из условия задачи у нас уже есть значение угла МКТ равное 140 градусов. Подставим это значение в уравнение:
\[140 = Угол\ МКТ + Угол\ ТМК\]
\[140 = 140 + Угол\ ТМК\]
\[Угол\ ТМК = 0\]

Так как угол ТМК равен 0 градусов, это означает, что точка Т и точка М лежат на одной прямой. Из этого следует, что отрезки ТК и КТ имеют одинаковую длину, то есть:
\[KT = TM\]

Из условия задачи также известно, что отношение длин КТ и ТМ равно \(x\):
\[\frac{KT}{TM} = x\]

Из предыдущего соотношения следует, что для данной задачи:
\[\frac{KT}{KT} = x\]

Таким образом, мы получаем:
\[1 = x\]

Из этого уравнения следует, что \(x = 1\), что означает, что длина отрезков ТК и КТ равна длине отрезка TM.

Таким образом, длина отрезка МТ равна двойной длине отрезка ТК или КТ, то есть:
\[MT = 2 \cdot KT\]

Также мы выяснили, что угол ТМК равен 0 градусов.

Итак, ответ на задачу:
Длина МТ равна двойной длине КТ, а величина угла МКТ равна 140 градусам.