Каковы длины диагоналей параллелограмма, если стороны равны 3 см и 9 см, а угол между ними составляет 120°? Укажите

Чтобы найти длины диагоналей параллелограмма, нам понадобится знание о свойствах параллелограмма. Один из таких фактов заключается в том, что диагонали параллелограмма делятся пополам и делят друг друга в пропорциональных отношениях.

Пусть сторона параллелограмма равна 3 см, а сторона, противоположная ей, равна 9 см. Поскольку стороны параллелограмма параллельны и равны, а угол между ними составляет 120°, можно сделать вывод, что параллелограмм является ромбом.

Теперь найдем длину диагоналей. Для этого мы можем использовать теорему косинусов для треугольника, составленного из сторон параллелограмма. Пусть длины диагоналей обозначаются как \(d_1\) и \(d_2\). Тогда мы можем записать соотношение:

\[d_1^2 = 3^2 + 9^2 - 2 \cdot 3 \cdot 9 \cdot \cos(120°)\]

\[d_2^2 = 3^2 + 9^2 - 2 \cdot 3 \cdot 9 \cdot \cos(120°)\]

Мы знаем, что \(\cos(120°) = -0.5\), следовательно:

\[d_1^2 = 3^2 + 9^2 - 2 \cdot 3 \cdot 9 \cdot (-0.5)\]

\[d_1^2 = 9 + 81 + 27\]

\[d_1^2 = 117\]

Аналогично:

\[d_2^2 = 9 + 81 + 27\]

\[d_2^2 = 117\]

Теперь мы знаем, что квадрат произведения диагоналей будет равен произведению квадратов длин диагоналей:

\[d_1 \cdot d_2 = \sqrt{117} \cdot \sqrt{117}\]

\[d_1 \cdot d_2 = \sqrt{117 \cdot 117}\]

\[d_1 \cdot d_2 = \sqrt{13689}\]

Поэтому квадрат произведения диагоналей равен 13689.