Напишите уравнение для решения проблемы. Один из велосипедистов проехал трассу на 20 минут быстрее, чем другой

Для решения этой задачи рассмотрим скорость первого велосипедиста как \(v_1\) (в км/ч), а скорость второго велосипедиста — как \(v_2\) (в км/ч).

Мы знаем, что один из велосипедистов проехал трассу на 20 минут (или \(\frac{20}{60}\) часа) быстрее, чем другой. Это означает, что время, затраченное первым велосипедистом (\(t_1\)), на прохождение трассы на 20 минут больше, чем время второго велосипедиста (\(t_2\)):
\[t_1 = t_2 + \frac{20}{60}\]
\[t_1 = t_2 + \frac{1}{3}\]

Также известно, что первый велосипедист ехал на 2 км/ч быстрее, чем второй. Это означает, что скорость первого велосипедиста (\(v_1\)) больше скорости второго велосипедиста (\(v_2\)) на 2 км/ч:
\[v_1 = v_2 + 2\]

Теперь у нас есть два уравнения, связывающих время и скорость каждого велосипедиста. Давайте решим систему этих уравнений.

Из первого уравнения: \(t_1 = t_2 + \frac{1}{3}\)
Так как \(t = \frac{d}{v}\), мы можем выразить время через расстояние и скорость:
\(\frac{d_1}{v_1} = \frac{d_2}{v_2} + \frac{1}{3}\)

Из второго уравнения: \(v_1 = v_2 + 2\)

Теперь мы можем подставить второе уравнение в первое, чтобы получить одно уравнение с одной переменной:
\(\frac{d_1}{v_2 + 2} = \frac{d_2}{v_2} + \frac{1}{3}\)

Чтобы решить это уравнение, мы можем умножить каждую часть на 3, чтобы избавиться от дроби:
\(3 \cdot \frac{d_1}{v_2 + 2} = 3 \cdot \frac{d_2}{v_2} + 3 \cdot \frac{1}{3}\)

Применим дистрибутивное свойство слева:
\(\frac{3d_1}{v_2 + 2} = 3 \cdot \frac{d_2}{v_2} + 1\)

Теперь у нас есть уравнение без дробей:
\(\frac{3d_1}{v_2 + 2} = \frac{3d_2}{v_2} + 1\)

Распространим дробь, умножив каждую часть на \(v_2 + 2\):
\(3d_1 = (v_2 + 2) \cdot \left(3d_2 + v_2\right) + (v_2 + 2)\)

Упростим выражение:
\(3d_1 = 3d_2v_2 + 3v_2 + 2v_2 + 4 + v_2 + 2\)

Соберем все коэффициенты \(v_2\) вместе и перенесем все другие термины на правую сторону уравнения:
\(0 = 3d_2v_2 + 3v_2 + 2v_2 + v_2 - 3d_1 - 5\)

Группируем подобные слагаемые:
\(0 = 3d_2v_2 + 6v_2 - 3d_1 - 5\)

Теперь у нас есть уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(x = v_2\). Решим это уравнение с помощью квадратного трехчлена.

Приравняем уравнение к нулю и решим его:
\(3d_2v_2 + 6v_2 - 3d_1 - 5 = 0\)

Это квадратное уравнение для \(v_2\), поэтому мы можем использовать квадратное уравнение для нахождения его корней. Мы можем использовать формулу дискриминанта:
\[D = b^2 - 4ac\]

для определения количества и типа корней. Затем найдем корни с помощью формулы квадратного уравнения:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

У нас есть:
\[a = 3d_2,\]
\[b = 6,\]
\[c = -3d_1 - 5.\]

Подставим эти значения в формулу дискриминанта:
\[D = 6^2 - 4 \cdot 3d_2 \cdot (-3d_1 - 5)\]
\[D = 36 + 36d_2(3d_1 + 5)\]

Теперь определим количество и тип корней:
1) Если \(D > 0\), то уравнение имеет два различных корня.
2) Если \(D = 0\), то уравнение имеет один корень.
3) Если \(D < 0\), то уравнение не имеет решений.

Теперь решим уравнение, используя формулу квадратного уравнения:
\[v_2 = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 36d_2(3d_1 + 5)}}{2 \cdot 3d_2}\]

Теперь, когда мы нашли \(v_2\), мы можем использовать второе уравнение \(v_1 = v_2 + 2\) для нахождения \(v_1\):
\[v_1 = v_2 + 2\]

Теперь у нас есть уравнения, которые позволяют нам найти скорости каждого велосипедиста. Замечу, что ответ должен быть численным значением скорости (в км/ч).