Найдите значения x на интервале от 3пи до 4пи, при которых уравнение 2/tg^2x+7/tgx+5=0 выполняется

Хорошо! Давайте решим данную задачу пошагово.

Итак, у нас есть уравнение \(2/\tan^2{x}+7/\tan{x}+5=0\). Наша задача - найти значения \(x\) на интервале от \(3\pi\) до \(4\pi\), при которых данное уравнение выполняется.

Шаг 1: Приведение к общему знаменателю
Для начала, приведем уравнение к общему знаменателю. У нас есть две дроби с знаменателями \(\tan^2{x}\) и \(\tan{x}\), поэтому общим знаменателем будет \(\tan^2{x}\cdot\tan{x}\).

Перепишем уравнение, умножив каждую дробь на \(\tan^2{x}\cdot\tan{x}\):
\[2\cdot\tan{x}+\frac{7\cdot\tan^2{x}}{\tan{x}}+5\cdot\tan^2{x}\cdot\tan{x}=0.\]

Шаг 2: Редуцирование дроби
Раскроем дробь в числителе по формуле \(\tan^2{x}=\sec^2{x}-1\):
\[2\cdot\tan{x}+\frac{7\cdot(\sec^2{x}-1)}{\tan{x}}+5\cdot\tan^3{x}=0.\]

Упростим это уравнение:
\[2\cdot\tan{x}+\frac{7\cdot\sec^2{x}-7}{\tan{x}}+5\cdot\tan^3{x}=0.\]

Шаг 3: Приведение к общему знаменателю и упрощение
Чтобы привести к общему знаменателю, умножим первое слагаемое на \(\tan{x}\):
\[2\cdot\tan^2{x}+7\cdot\sec^2{x}-7+5\cdot\tan^3{x}=0.\]

А теперь объединим одинаковые слагаемые:
\[5\cdot\tan^3{x}+2\cdot\tan^2{x}+7\cdot\sec^2{x}-7=0.\]

Шаг 4: Использование тригонометрической идентичности
Для удобства, заменим \(\sec^2{x}\) на \(\tan^2{x}+1\) в уравнении:
\[5\cdot\tan^3{x}+2\cdot\tan^2{x}+7\cdot(\tan^2{x}+1)-7=0.\]

Приведем подобные слагаемые:
\[5\cdot\tan^3{x}+9\cdot\tan^2{x}=0.\]

Шаг 5: Факторизация
Произведем факторизацию уравнения, вынесем общий множитель \(\tan^2{x}\):
\[\tan^2{x}\cdot(5\tan{x}+9)=0.\]

Итак, у нас два множителя, один из которых равен нулю:
\(\tan^2{x}=0\) или \(5\tan{x}+9=0\).

Шаг 6: Решение уравнений
Решим первое уравнение \(\tan^2{x}=0\). Если \(\tan^2{x}=0\), то \(\tan{x}=0\). Это уравнение имеет решение при \(x=n\pi\), где \(n\) - целое число.

Теперь решим второе уравнение \(5\tan{x}+9=0\). Вычтем 9 из обеих сторон и разделим на 5:
\[\tan{x}=-\frac{9}{5}.\]

Используя таблицу значений тангенса, найдем все значения \(x\), для которых \(\tan{x}=-\frac{9}{5}\), на интервале от \(3\pi\) до \(4\pi\).

Таким образом, решение исходного уравнения \(2/\tan^2{x}+7/\tan{x}+5=0\) на интервале от \(3\pi\) до \(4\pi\) состоит из значений \(x\), при которых \(\tan^2{x}=0\) и \(\tan{x}=-\frac{9}{5}\).