На якій висоті над поверхнею Землі (у кілометрах) спостерігається прискорення вільного падіння, яке менше в 16 разів

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для силы тяжести \( F = mg \), где \( F \) - сила тяжести, \( m \) - масса объекта, \( g \) - ускорение свободного падения.

Ускорение свободного падения на Земле обычно обозначается как \( g_0 \). Мы знаем, что в задаче ускорение свободного падения на некоторой высоте над поверхностью Земли составляет \( \frac{1}{16} \) от \( g_0 \). Таким образом, можно записать уравнение:

\[ \frac{1}{16}g_0 = \frac{Gm}{(R+h)^2} \]

где \( G \) - гравитационная постоянная, \( m \) - масса объекта, \( R \) - радиус Земли, \( h \) - высота над поверхностью Земли.

Мы также знаем, что радиус Земли \( R \) составляет 6400 км, поэтому мы можем заменить \( R \) числом 6400.

Теперь найдем ускорение свободного падения \( g \) на некоторой высоте над Землей:

\[ \frac{1}{16}g_0 = \frac{Gm}{(6400+h)^2} \]

Чтобы найти высоту \( h \), нам нужно избавиться от дроби. Умножим обе части уравнения на \( (6400+h)^2 \):

\[ g_0 = 16 \cdot \frac{Gm}{(6400+h)^2} \]

Теперь выразим высоту \( h \):

\[ (6400+h)^2 = \frac{Gm}{g_0} \]

Раскроем скобки:

\[ 6400^2 + 2 \cdot 6400h + h^2 = \frac{Gm}{g_0} \]

Подставим значения \( G = 6.67 \times 10^{-11} \frac{m^3}{kg \cdot s^2} \) и \( g_0 = 9.8 \frac{m}{s^2} \):

\[ 6400^2 + 2 \cdot 6400h + h^2 = \frac{6.67 \times 10^{-11} \cdot m \cdot m^3}{9.8 \cdot s^2} \]

Заменим константы:

\[ 2.56 \times 10^7 + 1.28 \times 10^4h + h^2 = 6.8 \times 10^{-11} \cdot m \]

Теперь решим квадратное уравнение:

\[ h^2 + 1.28 \times 10^4h + (2.56 \times 10^7 - 6.8 \times 10^{-11} \cdot m) = 0 \]

Используя формулу корней квадратного уравнения, мы можем найти значения \( h \).

Первый шаг решения уравнения:

\[ h = \frac{-1.28 \times 10^4 \pm \sqrt{(1.28 \times 10^4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2.56 \times 10^7 - 6.8 \times 10^{-11} \cdot m)}}{2 \cdot 1} \]

Далее, мы можем подставить данное значение \( h \) в уравнение и решить его для конкретных значений \( m \), чтобы найти требуемую высоту над поверхностью Земли.