Каково отношение ускорений, приобретенных двумя шариками с разными радиусами, при столкновении на гладкой поверхности?

Чтобы решить данную задачу, нам понадобятся законы сохранения импульса и энергии.

При столкновении на гладкой поверхности, импульсы системы до и после столкновения должны быть равными, а также сумма кинетических энергий должна сохраняться.

Давайте разберемся с пошаговым решением данной задачи:

Шаг 1: Обозначим данные и величины, которые нам известны:
Пусть \(m_1\) и \(m_2\) - массы первого и второго шариков соответственно.
Пусть \(r_1\) и \(r_2\) - радиусы первого и второго шариков соответственно.
Пусть \(v_1\) и \(v_2\) - скорости первого и второго шариков до столкновения соответственно.
Пусть \(v_1"\) и \(v_2"\) - скорости первого и второго шариков после столкновения соответственно.
Пусть \(a_1\) и \(a_2\) - ускорения первого и второго шариков после столкновения соответственно.

Шаг 2: Применим законы сохранения импульса и энергии:
Импульс - это произведение массы на скорость:
\(p = mv\)
Сохранение импульса: \(m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v_1" + m_2v_2"\) - это уравнение 1.

Кинетическая энергия - это половина произведения массы на квадрат скорости:
\(K = \frac{1}{2}mv^2\)
Сохранение энергии: \(m_1v_1^2 + m_2v_2^2 = m_1v_1"^2 + m_2v_2"^2\) - это уравнение 2.

Шаг 3: Подставим известные значения и выразим \(a_1\) и \(a_2\):
Согласно условию задачи, радиус первого шарика в 3 раза больше радиуса второго шарика, то есть \(r_1=3r_2\).
Также у нас есть следующие соотношения: \(m_1=\frac{4}{3}\pi r_1^3\rho\) (где \(\rho\) - плотность шарика) и \(m_2=\frac{4}{3}\pi r_2^3\rho\).

Подставим в уравнение 1 и решим его относительно \(a_1\):
\(m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v_1" + m_2v_2"\)

\(\frac{4}{3}\pi r_1^3\rho v_1 + \frac{4}{3}\pi r_2^3\rho v_2 = \frac{4}{3}\pi r_1^3\rho v_1" + \frac{4}{3}\pi r_2^3\rho v_2"\)

\(\pi\rho(v_1-\frac{v_1"r_1^3}{r_2^3})=\pi\rho(\frac{r_1^3}{r_2^3}v_2"-v_2)\)

\(v_1-\frac{v_1"r_1^3}{r_2^3}=\frac{r_1^3}{r_2^3}v_2"-v_2\)

\(v_1-v_2=\frac{r_1^3}{r_2^3}(v_2"-v_1")\)

\(a_1=\frac{r_1^3}{r_2^3}(v_2"-v_1")\) - это уравнение 3.

Аналогично подставим в уравнение 2 и решим его относительно \(a_2\), выражая через \(a_1\):
\(m_1v_1^2 + m_2v_2^2 = m_1v_1"^2 + m_2v_2"^2\)

\(\frac{4}{3}\pi r_1^3\rho v_1^2 + \frac{4}{3}\pi r_2^3\rho v_2^2 = \frac{4}{3}\pi r_1^3\rho v_1"^2 + \frac{4}{3}\pi r_2^3\rho v_2"^2\)

\(\pi\rho(v_1^2-\frac{v_1"^2r_1^3}{r_2^3})=\pi\rho(\frac{r_1^3}{r_2^3}v_2"^2-v_2^2)\)

\(v_1^2-\frac{v_1"^2r_1^3}{r_2^3}=\frac{r_1^3}{r_2^3}v_2"^2-v_2^2\)

\(a_1^2=\frac{r_1^3}{r_2^3}(v_2"^2-v_1^2)+\frac{v_1"^2r_1^3}{r_2^3}-v_2^2\)

\(a_2=\frac{r_1^3}{r_2^3}(v_2"^2-v_1^2)+\frac{v_1"^2r_1^3}{r_2^3}-v_2^2\) - это уравнение 4.

Шаг 4: Вычислим \(v_2"\):

Для этого воспользуемся законом сохранения импульса, который гласит, что сумма импульсов до и после столкновения равна нулю:
\(m_1v_1 + m_2v_2 = 0\)

Подставим в эту формулу \(m_1 = \frac{4}{3}\pi r_1^3\rho\) и \(m_2 = \frac{4}{3}\pi r_2^3\rho\), и решим относительно \(v_2"\):

\(\frac{4}{3}\pi r_1^3\rho v_1 + \frac{4}{3}\pi r_2^3\rho v_2 = 0\)

\(\frac{r_1^3}{r_2^3}(v_2-v_1) = 0\)

\(v_2=v_1\)

Получили, что скорость \(v_2"\) после столкновения равна скорости \(v_1\) перед столкновением.

Шаг 5: Подставим полученные значения в уравнения 3 и 4 и решим их:

\(a_1=\frac{r_1^3}{r_2^3}(v_2"-v_1") = \frac{r_1^3}{r_2^3}(v_1-v_1")\)

\(a_1=\frac{r_1^3}{r_2^3}(v_1-v_1) = \frac{r_1^3}{r_2^3}(0) = 0\)

\(a_2=\frac{r_1^3}{r_2^3}(v_2"^2-v_1^2)+\frac{v_1"^2r_1^3}{r_2^3}-v_2^2 = \frac{r_1^3}{r_2^3}(v_1^2-v_1^2)+\frac{v_1^2r_1^3}{r_2^3}-v_1^2\)

\(a_2=\frac{v_1^2r_1^3}{r_2^3}-v_1^2\)

\(a_2=(\frac{r_1^3}{r_2^3}-1)v_1^2\)

Учитывая, что \(r_1 = 3r_2\), получим:

\(a_2=(\frac{(3r_2)^3}{r_2^3}-1)v_1^2\)

\(a_2=(\frac{27r_2^3}{r_2^3}-1)v_1^2\)

\(a_2=(26)v_1^2\)

Шаг 6: Выразим отношение ускорений:

\(\frac{a_2}{a_1} = \frac{(26)v_1^2}{0} = \infty\)

Таким образом, отношение ускорений приобретенных двумя шариками с разными радиусами при столкновении на гладкой поверхности равно бесконечности.

Надеюсь, это пошаговое решение поможет вам понять данную задачу. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь!