На сколько сантиметров короче одна сторона прямоугольного треугольника от другой, если его площадь составляет

Дано, что площадь прямоугольного треугольника составляет 84 квадратных сантиметра. Нам нужно найти на сколько сантиметров короче одна сторона треугольника от другой.

Для начала, рассмотрим формулу для площади прямоугольного треугольника:
\[S = \frac{1}{2}ab\]
где \(a\) и \(b\) - длины катетов треугольника, а \(S\) - площадь треугольника.

Поскольку у нас задана площадь треугольника, мы можем записать следующее уравнение:
\[84 = \frac{1}{2}ab\]

Чтобы найти ответ на вопрос, на сколько сантиметров короче одна сторона треугольника от другой, нам потребуется найти значения длин катетов \(a\) и \(b\).

Воспользуемся фактом, что в прямоугольном треугольнике одна из сторон всегда является гипотенузой, а другие две стороны - катетами. Пусть \(a\) - это катет, который короче, и \(b\) - это катет, который длиннее. Теперь мы можем записать следующие уравнения:
\[a + x = b\]
\[a \cdot x = 84\]

Где \(x\) - это разность между длинами сторон треугольника.

Мы можем решить это систему уравнений для \(a\) и \(x\), чтобы найти ответ на вопрос задачи.

Для начала, выразим \(a\) из первого уравнения:
\[a = b - x\]

Подставим это во второе уравнение:
\[(b - x) \cdot x = 84\]

Раскроем скобки и приведем уравнение к виду квадратного уравнения:
\[bx - x^2 = 84\]

Теперь перепишем уравнение в виде квадратного уравнения:
\[x^2 - bx + 84 = 0\]

Мы получили квадратное уравнение, которое можно решить, используя стандартные методы решения квадратных уравнений.

Решим это квадратное уравнение, используя дискриминант:
\[D = b^2 - 4ac\]
где \(a = 1\), \(b = -b\) и \(c = 84\).

Вычислим дискриминант:
\[D = (-b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 84\]
\[D = b^2 - 336\]

Теперь найдем корни квадратного уравнения:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим значения:
\[x = \frac{b \pm \sqrt{b^2 - 336}}{2}\]

Найдем корень из дискриминанта:
\[\sqrt{b^2 - 336}\]

Вернемся к начальной задаче и попробуем подобрать такое значение \(b\), чтобы площадь прямоугольного треугольника составляла 84 квадратных сантиметра. Будем искать натуральное значение для стороны треугольника \(b\).

Таким образом, мы можем рассмотреть все натуральные числа, начиная с 2 (так как более маленькие числа не дадут площадь 84 квадратных сантиметра) и проверять, будет ли площадь прямоугольного треугольника соответствовать условию для каждого значения \(b\).

Например, при \(b = 3\) имеем:
\[x = \frac{3 \pm \sqrt{3^2 - 336}}{2}\]
\[x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 336}}{2}\]
\[x = \frac{3 \pm \sqrt{-327}}{2}\]

Мы видим, что подкоренное выражение является отрицательным числом, что недопустимо для реальных значений сторон треугольника.

Продолжая таким образом проверять различные значения \(b\), мы увидим, что для заданной площади 84 квадратных сантиметра не существует натуральных значений сторон треугольника, удовлетворяющих условию задачи.

Таким образом, ответом на задачу будет то, что нет такого прямоугольного треугольника, у которого одна сторона короче другой на определенное количество сантиметров при заданной площади 84 квадратных сантиметра.